Presentazione di gruppi
Buonasera, ho il seguente esercizio:
"Scrivere le presentazioni dei seguenti gruppi:
$ZZ_20 ZZ_20* D_20 V_4 A_4$
Io ho fatto in questo modo:
$ZZ_20$ e' ciclico per cui ha un solo generatore che chiamo a e la presentazione e' $$
$ZZ_20$* ha 8 elementi, ed e' isomorfo a $ZZ_2xZZ_4$ quindi prendo due generatori a,b e la presentazione e'
$$
per $D_20$ ho i generatori che sono R e S e la presentazione e' $$
$V_4$ e' isomorfo a $ZZ_2xZZ_2$ quindi, presi a,b i due generatori ho la presentazione $$
Queste sono giuste?? Per $A_4$ non ho idee, sapreste aiutarmi??
"Scrivere le presentazioni dei seguenti gruppi:
$ZZ_20 ZZ_20* D_20 V_4 A_4$
Io ho fatto in questo modo:
$ZZ_20$ e' ciclico per cui ha un solo generatore che chiamo a e la presentazione e' $
$ZZ_20$* ha 8 elementi, ed e' isomorfo a $ZZ_2xZZ_4$ quindi prendo due generatori a,b e la presentazione e'
$
per $D_20$ ho i generatori che sono R e S e la presentazione e' $
$V_4$ e' isomorfo a $ZZ_2xZZ_2$ quindi, presi a,b i due generatori ho la presentazione $
Queste sono giuste?? Per $A_4$ non ho idee, sapreste aiutarmi??
Risposte
http://www.weddslist.com/groups/misc/serpres.html
...Probabilmente però ti serve anche sapere/dire come queste presentazioni sono ottenute?
...Probabilmente però ti serve anche sapere/dire come queste presentazioni sono ottenute?
In effetti si...
Non mi basta sapere quali sono
Non mi basta sapere quali sono
Mi sembra tutto OK.
Per $A_4$ potresti osservare che c'e' un sottogruppo isomorfo a $V_4$
generato da $a$ e $b$ diciamo. Sia $c\in A_4$ un $3$-ciclo.
Non e' difficile vedere che $a$, $b$ e $c$ generano $A_4$. Devi solo
trovare relazioni $\ldots$
Per $A_4$ potresti osservare che c'e' un sottogruppo isomorfo a $V_4$
generato da $a$ e $b$ diciamo. Sia $c\in A_4$ un $3$-ciclo.
Non e' difficile vedere che $a$, $b$ e $c$ generano $A_4$. Devi solo
trovare relazioni $\ldots$
Io infatti avevo iniziato a ragionare dicendo che $A_4$, oltre al neutro aveva tre elementi di ordine 2 e 8 di ordine 3
Per quelli di ordine due avevo pensato proprio al gruppo di Klein, il problema sorgeva con quelli di ordine 3.
Non capisco perche' dicendo che $A_4=V_4xZZ_3$ avrei tutti gli elementi all'interno.
Per quelli di ordine due avevo pensato proprio al gruppo di Klein, il problema sorgeva con quelli di ordine 3.
Non capisco perche' dicendo che $A_4=V_4xZZ_3$ avrei tutti gli elementi all'interno.
Il sottogruppo $H$ generato da $V_4$ e un $3$-ciclo soddisfa
$V_4\subset H\subset A_4$.
Poiche' $[A_4:V_4]=3$ e' primo, ci sono solo
due possibilita': si ha che $H=V_4$ oppure $H=A_4$.
Ma non e' possibile che $H=V_4$, perche' $H$ contiene un $3$-ciclo.
E quindi $H=A_4$. Poiche' $V_4$ e' normale in $A_4$, si ha che
$A_4=V_4C$, dove $C$ e' il gruppo generato dal $3$-ciclo.
$V_4\subset H\subset A_4$.
Poiche' $[A_4:V_4]=3$ e' primo, ci sono solo
due possibilita': si ha che $H=V_4$ oppure $H=A_4$.
Ma non e' possibile che $H=V_4$, perche' $H$ contiene un $3$-ciclo.
E quindi $H=A_4$. Poiche' $V_4$ e' normale in $A_4$, si ha che
$A_4=V_4C$, dove $C$ e' il gruppo generato dal $3$-ciclo.
"Stickelberger":
Poiche' $[A_4:V_4]=3$ e' primo, ci sono solo
due possibilita': si ha che $H=V_4$ oppure $H=A_4$.
Diciamo che non mi e' molto chiaro. Innanzitutto perche' questo e' vero?
Perche' $[A_4:V_4]=[A_4:H][H:V_4]$.
"Stickelberger":
Perche' $[A_4:V_4]=[A_4:H][H:V_4]$.
Questa cosa che hai usato vale sempre?
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