Potenze di una permutazione $sigma$

gbspeedy
Devo calcolare le potenze distinte di una permutazione $sigma=(1 3)(2 8 7)(5 10 6 9)$.
L'ordine è 12 quindi so che $sigma^12=id$.
Devo calcolare tutte le potenze di $sigma^i$ con $i=2,.....,11$?Sono solo quelle le distinte?

Risposte
dan952
Si infatti se esistessero $n!=k$ entrambi minori di 12 tali che $\sigma^n=\sigma^k$ allora per la legge di cancellazione (a destra) $\sigma^{n-k}=e$ assrdo poiché $|n-k|<12$.

gbspeedy
Quindi se l'ordine del gruppo è k le potenze distinte sono $sigma^i$ con $i=2,....,k-1$?

dan952
L'ordine di $\sigma$ non del gruppo. Se l'ordine di $\sigma$ è $k$ allora $\sigma^{kn+i}=\sigma^{i}$ con $n \in ZZ$ e $i=0, 1, \cdots, k-1$, dunque le potenze con $\sigma^i$ sono tutte distinte per il motivo del post precedente.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.