Possibile proprietà riguardante la sezione aurea
Ciao a tutti volevo chiedervi se esiste una proprietà riguardante la sezione aurea; la proprietà è questa:
allora non mi so esprimere molto bene in italiano quindi
per es.
[tex]\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]\phi+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]\phi+2=\frac{5+\sqrt{5}}{2}[/tex]
in generale secondo me se la proprietà dovesse essere vera la formula generale è questa
[tex]\phi+n=\frac{d_{n+1}+\sqrt{5}}{2}[/tex]
dove d è il numero dispari di posizione (n+1). Questa proprietà è vera?? E se lo fosse come si potrebbe dimostrare?? Grazie.
allora non mi so esprimere molto bene in italiano quindi
per es.
[tex]\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]\phi+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]\phi+2=\frac{5+\sqrt{5}}{2}[/tex]
in generale secondo me se la proprietà dovesse essere vera la formula generale è questa
[tex]\phi+n=\frac{d_{n+1}+\sqrt{5}}{2}[/tex]
dove d è il numero dispari di posizione (n+1). Questa proprietà è vera?? E se lo fosse come si potrebbe dimostrare?? Grazie.
Risposte
Certo che è vera, e si dimostra facilmente per induzione.
Per [tex]n=0[/tex] è banale.
Sia vero per [tex]n[/tex] e proviamo per [tex]n+1[/tex]; allora
[tex]\displaystyle \phi+(n+1)=(\phi + n) + 1 =\frac{d_{n+1}+\sqrt{5}}{2}+1=\frac{d_{n+1}+\sqrt{5}+2}{2}[/tex]
Dato che [tex]d_{n+1}=2n+1[/tex], possiamo scrivere
[tex]\displaystyle \frac{d_{n+1}+\sqrt{5}+2}{2}=\frac{2n+3+\sqrt{5}}{2}=\frac{d_{n+2}+\sqrt{5}}{2}[/tex]
provando la relazione per ogni intero [tex]n[/tex].
Per [tex]n=0[/tex] è banale.
Sia vero per [tex]n[/tex] e proviamo per [tex]n+1[/tex]; allora
[tex]\displaystyle \phi+(n+1)=(\phi + n) + 1 =\frac{d_{n+1}+\sqrt{5}}{2}+1=\frac{d_{n+1}+\sqrt{5}+2}{2}[/tex]
Dato che [tex]d_{n+1}=2n+1[/tex], possiamo scrivere
[tex]\displaystyle \frac{d_{n+1}+\sqrt{5}+2}{2}=\frac{2n+3+\sqrt{5}}{2}=\frac{d_{n+2}+\sqrt{5}}{2}[/tex]
provando la relazione per ogni intero [tex]n[/tex].
Non riesco a capire perchè [tex]d_{n+1}=2n+1[/tex] e quindi anche il seguito.
Dimostra anche quello per induzione.
Se [tex]n=0[/tex] allora [tex]d_1=1[/tex], che è vero.
Supponiamo che sia vero per [tex]n[/tex]: osserviamo che per ottenere il numero dispari successivo all'[tex](n+1)[/tex]-esimo dobbiamo sommare [tex]2[/tex]. Dunque
[tex]d_{n+2}=d_{n+1}+2=2n+1+2=2n+3[/tex]
il che conclude la dimostrazione.
Se [tex]n=0[/tex] allora [tex]d_1=1[/tex], che è vero.
Supponiamo che sia vero per [tex]n[/tex]: osserviamo che per ottenere il numero dispari successivo all'[tex](n+1)[/tex]-esimo dobbiamo sommare [tex]2[/tex]. Dunque
[tex]d_{n+2}=d_{n+1}+2=2n+1+2=2n+3[/tex]
il che conclude la dimostrazione.
Vi prego, si accenni al fatto che qui la sezione aurea non c'entra nulla! 
Dimostrare che [tex]\phi + n = \frac{d_{n+1} + \sqrt{5}}{2}[/tex] e' ovviamente del tutto equivalente a dimostrare che [tex]n = \frac{d_{n+1}-1}{2}[/tex] (per vederlo basta togliere [tex]\phi[/tex] ad entrambi i membri). Quindi la sezione aurea non c'entra nulla.
Dimostrare che [tex]\phi + n = \frac{d_{n+1} + \sqrt{5}}{2}[/tex] e' ovviamente del tutto equivalente a dimostrare che [tex]n = \frac{d_{n+1}-1}{2}[/tex] (per vederlo basta togliere [tex]\phi[/tex] ad entrambi i membri). Quindi la sezione aurea non c'entra nulla.
Un attimo ma la sezione aurea è [tex]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] quindi ok a [tex]\phi+n[/tex] phi la posso togliere ma a [tex]\frac{d_{n+1}+\sqrt{5}}{2}[/tex] come fai a togliere [tex]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]???
Beh sono due numeri reali, sono autorizzato a sottrarli.
[tex]\frac{d_{n+1}+\sqrt{5}}{2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2} = \frac{d_{n+1}+\sqrt{5}-(1+\sqrt{5})}{2} = \frac{d_{n+1}-1}{2}[/tex].
[tex]\frac{d_{n+1}+\sqrt{5}}{2}-\frac{1+\sqrt{5}}{2} = \frac{d_{n+1}+\sqrt{5}-(1+\sqrt{5})}{2} = \frac{d_{n+1}-1}{2}[/tex].
"Martino":
Vi prego, si accenni al fatto che qui la sezione aurea non c'entra nulla!
Certo che no, al posto di [tex]\phi[/tex] poteva starci qualsiasi altra cosa, tanto è vero che nella "dimostrazione" non se ne fa alcun cenno!
Ok ok grazie a tutti per la dimostrazione i ho ripensato un po' e ho capito tutto ciò che avete detto. Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo