Polinomio visto come successione dei suoi coefficienti?!
leggiucchiando il ciliberto ho trovato una definizione di polinomio un pò strana...
viene definito come una successione di coefficienti...
precisamente, definisce $x^i$ la successione con 1 all'i-esimo posto e 0 negli altri posti. messe le operazioni prodotto per unoo scalare e somma, si capisce che c'è l'identificazione
$a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1 x+a_0$
con la successione
$a_0,a_1,...,a_n,0,0,0,0...$
mi sembra davvero una definizione molto strana...in questo modo non si perde definitivamente il senso della scrittura $x^i$ come ELEVAMENTO A POTENZA della variabile x con ESPONENTE i?
Qual'è la definizione rigorosa di polinomio? E' davvero questa? grazie per le delucidazioni
viene definito come una successione di coefficienti...
precisamente, definisce $x^i$ la successione con 1 all'i-esimo posto e 0 negli altri posti. messe le operazioni prodotto per unoo scalare e somma, si capisce che c'è l'identificazione
$a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1 x+a_0$
con la successione
$a_0,a_1,...,a_n,0,0,0,0...$
mi sembra davvero una definizione molto strana...in questo modo non si perde definitivamente il senso della scrittura $x^i$ come ELEVAMENTO A POTENZA della variabile x con ESPONENTE i?
Qual'è la definizione rigorosa di polinomio? E' davvero questa? grazie per le delucidazioni
Risposte
Ciao. Hai gia visto questa discussione? http://www.matematicamente.it/forum/mcd-tra-due-polinomi-t89878.html
casco davvero dal cielo...anche perchè non riesco a capire la vera utilità di una definizione così assolutamente poco pratica....il concetto di polinomio è nato come "quella cosa che devo elevare al cubo e aggiungerci 8 e tolgo la cosa che deve fare 9", storicamente...non vedo come la scrittura "x^i" come ${x x x x x...}_{i}$ possa essere equivalente a $(0,0,0,0,1,0,0,0)...$
mi viene solo in mente che quell'ennupla rappresenti le coordinate rispetto alla base $1,x,x^2,\cdots$ che però non è definita
spiegatemi...cosa si nasconde di arcano dietro la definizione di polinomio?
mi viene solo in mente che quell'ennupla rappresenti le coordinate rispetto alla base $1,x,x^2,\cdots$ che però non è definita
spiegatemi...cosa si nasconde di arcano dietro la definizione di polinomio?
Certamente. I polinomi si definiscono proprio così: come successioni definitivamente nulle di elementi di un anello assegnato $A$.
Anzi... Non è corretto in generale interpretare un polinomio come una funzione.
Anzi... Non è corretto in generale interpretare un polinomio come una funzione.
ma se definisco $x^2$ come la successione (0,0,1,0,0,0...) mi spiegate dove va a finire il concetto di ELEVARE x al QUADRATO, che è l'origine (anche storica) di tale scrittura?
Brevemente: Sia $B$ l'insieme delle successioni definitivamente nulle di elementi di $A$. $B = \{(a_0 , a_1 , ... , a_n , 0 , 0 , ... ) : a_i \in A, \forall i \}$. Su $B$ possiamo introdurre una somma (componente per componente) ed un prodotto (prodotto di/alla Cauchy).
Allora $(B, + , *)$ è un anello e quello che si vede è che $\{ (a_0 , 0 , 0 , ... ) : a_0 \in A \}$ è isomorfo all'anello $A$ da cui si era partiti (quindi l'anello dei polinomi $B$ contiene una copia isomorfa di $A$). Quindi puoi indicare $(a_0 , 0 , 0 , ... )$ semplicemente come $a_0$.
Chiama ora $x = ( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , ... ) $. Usando la definizione di prodotto di Cauchy, si vede facilmente che:
\[ x * x = x^2 = ( 0 , 0 , 1, 0 , 0 , ...) \]
\[x * x * x = x^3 = ( 0 , 0 , 0 , 1, 0 , ...) \]
e così via...
Sia $p \in B$ un polinomio: $p = ( a_0 , a_1 , ... , a_n , 0 , 0 , 0 , ... )$. Questo si può scrivere come:
\[ p = ( a_0 , a_1 , ... , a_n , 0 , 0 , 0 , ... ) = a_0 + a_1 ( 0 , 1 , 0 , 0 , ... ) + ... + a_n ( \underbrace{ 0 , 0, ... , 1}_{n + 1} , 0 , 0 , ... ) \]
ovvero
\[ p = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n \]
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Algebra.[/xdom]
Allora $(B, + , *)$ è un anello e quello che si vede è che $\{ (a_0 , 0 , 0 , ... ) : a_0 \in A \}$ è isomorfo all'anello $A$ da cui si era partiti (quindi l'anello dei polinomi $B$ contiene una copia isomorfa di $A$). Quindi puoi indicare $(a_0 , 0 , 0 , ... )$ semplicemente come $a_0$.
Chiama ora $x = ( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , ... ) $. Usando la definizione di prodotto di Cauchy, si vede facilmente che:
\[ x * x = x^2 = ( 0 , 0 , 1, 0 , 0 , ...) \]
\[x * x * x = x^3 = ( 0 , 0 , 0 , 1, 0 , ...) \]
e così via...
Sia $p \in B$ un polinomio: $p = ( a_0 , a_1 , ... , a_n , 0 , 0 , 0 , ... )$. Questo si può scrivere come:
\[ p = ( a_0 , a_1 , ... , a_n , 0 , 0 , 0 , ... ) = a_0 + a_1 ( 0 , 1 , 0 , 0 , ... ) + ... + a_n ( \underbrace{ 0 , 0, ... , 1}_{n + 1} , 0 , 0 , ... ) \]
ovvero
\[ p = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n \]
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Algebra.[/xdom]
ma come si collega questo prodotto con quello definito sui numeri reali? perchè alla fine l'indeterminata è un "numero" nascosto, quindi il prodotto non dovrebbe essere lo stesso di quello definito tra "numeri"? (intendo il prodotto fra naturali, oppure il prodotto fra sezioni di dedekind ecc..)
"newton_1372":
ma come si collega questo prodotto con quello definito sui numeri reali?
Quale ?
No! no! l'indeterminata non è un numero nascosto.
Confondi polinomi con funzioni polinomiali, è diverso.
Come ti ha detto Seneca, l'indeterminata la puoi vedere più che altro come "segnaposto".
Ma è una indeterminata, niente di più.
Def :
Sia $A$ un anello. $P = {(a_n)_(n in NN) |$ $(a_n)_(n in NN)$ è definitivamente nulla $}$
Allora $(a_n)_(n in NN)$ si dice polinomio a coefficienti in $a$.
cioè un polinomio è un ente del tipo $(a_0,a_1,.........,a_n,0,0,................)$
Quando fai la somma, non fai altro che fare la somma tra $n-uple$ ordinate... ad esempio
$(a_0,0,0,..........)+(b_0,0,0,......) = (a_0+b_0,0,0,0,...........) -=(a_0+b_0)+0*x^2+0*x^3.......$
Quando fai il prodotto fai una cosa del genere.
Supponi di avere dei polinomi del tipo
$f(X)-= (0,1,.......)-=x$ $ g(X)=(0,0,1,...)-=x^2$ allora $f(x)*g(X)-=x^3-=(0,0,0,1,....)$...
a questo punto vorrei sapere che differenza c'è tra un polinomio e un vettore di $R^n$...le cose praticamente coincidono...e un polinomio si confonde con il vettore delle coordinate rispetto alla base $1,x,x^2...$ che a questo punto non è che una riscrittura della base canonica...
Scusami tanto, perché proprio $R^n$? 
Se $A$ è un campo, è noto che $P$ può essere dotato di struttura di Spazio vettoriale . Allora si, gli elementi di $A$ ricorderebbero in un certo senso i vettori di $K^n$
Però attenzione. Dire che gli elementi di $P$ sono quelli di $R^n$ è sbagliato.
Non puoi ! $R^n$ è finitamente generato.
Lo spazio dei polinomi a coefficienti in un campo no!
Ora se $A$ non è un campo, puoi vedere gli elementi di $P$ come vettori? No. $P$ non sarebbe uno spazio vettoriale.
Se $A$ è un campo, è noto che $P$ può essere dotato di struttura di Spazio vettoriale . Allora si, gli elementi di $A$ ricorderebbero in un certo senso i vettori di $K^n$
Però attenzione. Dire che gli elementi di $P$ sono quelli di $R^n$ è sbagliato.
Non puoi ! $R^n$ è finitamente generato.
Lo spazio dei polinomi a coefficienti in un campo no!
Ora se $A$ non è un campo, puoi vedere gli elementi di $P$ come vettori? No. $P$ non sarebbe uno spazio vettoriale.
esistono polinomi a coefficienti "in un gruppo"? non ne ho mai sentito parlare...
cmq ipotizzando che i coefficienti siano in un campo, la differenza tra una ennupla e un polinomio è tutta qui? solo il fatto che R^n è finitamente generato, mentre K(x) no? a questo punto potrei dirti beh consideriamo il sottospazio dei polinomi di grado inferiore o uguale a un certo m...
c'è qualche differenza concettuale o di principio tra R^m e K(x)_m?
cmq ipotizzando che i coefficienti siano in un campo, la differenza tra una ennupla e un polinomio è tutta qui? solo il fatto che R^n è finitamente generato, mentre K(x) no? a questo punto potrei dirti beh consideriamo il sottospazio dei polinomi di grado inferiore o uguale a un certo m...
c'è qualche differenza concettuale o di principio tra R^m e K(x)_m?
?!
Scusami,ma la struttura gruppo è differente dalla struttura anello.
$K$ è un tipo di anello, un'anello può non essere un campo.
Un esempio ? $ZZ_4$. $4$ non è un primo, quindi tale anello non è un campo.
Perché?
Perché $ZZ_4$ presenta divisori dello zero e quindi non tutti gli elementi sono invertibili.
Esempio.
$[2]_4 != [0]_4$ ma ${2]_4*[2]_4=[4]_4=[0]_4$.
Su $ZZ_4$ puoi costruire uno spazio vettoriale? Non credo.
Di conseguenza anche $ZZ_4[X]$ non è un campo.
Controesempio :
l'elemento $f(X)=2X^2 != 0$ (0 polinomio nullo)
ma $f(X)^2=4x^4=0$.....
Scusami,ma la struttura gruppo è differente dalla struttura anello.
$K$ è un tipo di anello, un'anello può non essere un campo.
Un esempio ? $ZZ_4$. $4$ non è un primo, quindi tale anello non è un campo.
Perché?
Perché $ZZ_4$ presenta divisori dello zero e quindi non tutti gli elementi sono invertibili.
Esempio.
$[2]_4 != [0]_4$ ma ${2]_4*[2]_4=[4]_4=[0]_4$.
Su $ZZ_4$ puoi costruire uno spazio vettoriale? Non credo.
Di conseguenza anche $ZZ_4[X]$ non è un campo.
Controesempio :
l'elemento $f(X)=2X^2 != 0$ (0 polinomio nullo)
ma $f(X)^2=4x^4=0$.....
@ newton: come ha osservato Kashaman, al posto di un campo puoi tranquillamente prendere un anello. Ad esempio $ZZ[X]$ è l'anello dei polinomi a coefficienti interi (polinomi con cui abbiamo sempre lavorato benissimo dai tempi delle scuole medie, senza preoccuparci troppo).
@ Kashaman: la struttura di spazio vettoriale si definisce solo su un campo. Su anelli generici si parla di moduli.
@ Kashaman: la struttura di spazio vettoriale si definisce solo su un campo. Su anelli generici si parla di moduli.
"Paolo90":
@ Kashaman: la struttura di spazio vettoriale si definisce solo su un campo. Su anelli generici si parla di moduli.
Lo so, o meglio ne ho sentito parlare, Paolo.
Ma non ho voluto accennarli , poiché ignorante in materia.
Newton ti segnalo questo link
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete4/al ... ione10.pdf
qui è spiegato molto bene il concetto di polinomio in un anello qualsiasi.
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete4/al ... ione10.pdf
qui è spiegato molto bene il concetto di polinomio in un anello qualsiasi.
dopo una notte molto lunga e piena di riflessioni, prendendo per buona la definizione di polinomio che mi è stata data qui, come si definisce lo ZERO di un polinomio di una certa molteplicità? e conseguentemente, come si dimostrano tutti i risultati tipo ruffini? se la x^i è solo un segnaposto, tutto questoo non ha nemmeno raison d'etre...
"newton_1372":
dopo una notte molto lunga e piena di riflessioni, prendendo per buona la definizione di polinomio che mi è stata data qui, come si definisce lo ZERO di un polinomio di una certa molteplicità? e conseguentemente, come si dimostrano tutti i risultati tipo ruffini? se la x^i è solo un segnaposto, tutto questoo non ha nemmeno raison d'etre...
Guarda, risponderti è cosa ardua ma ci provo lo stesso.
Hai provato a leggere le dispense che ti ho segnalato?
Il fatto è questo.
se $f=(a_n)_(n in NN)$ è una successione definitivamente nulla a valori in $A$,cioè un polinomio a coefficienti in $A$ . Supponiamo che $deg(f)=n$ allora detta $X$ indeterminata, cioè un semplice simbolo, posso identificare $f$ con la scrittura formale $ f = \sum_(i=0)^(n) a_iX^i$. Identifico cioè $f$ fino al termine $n$, dopo il termine $n$ non c'è niente perché i coefficienti sono tutti zero.
Perché posso farlo? Beh immagino per una semplice ragione, ad intuito ti rispondo cosi.
Considero $P = { (a_n)_(n in NN ) | a_n in A ^^ AA n in NN EE n_0 in NN : AA n >=n_0 , a_n=0}$
e $P' = { \sum_(i=0)^(n) a_iX^i | a_i in A}$. Allora, con la somma (+)e prodotto (*) definite su $P$ (che puoi vedere sulle dispense che ti ho segnalato) , e la somma (+') e prodotto (*')tra polinomi che ben conosciamo, si ha che $P$ e $P'$ sono due anelli e in particolare $EE f : P-> P'$ isomorfismo. Cioè strutturalmente $P$ e $P'$ sono identici.
Quindi, $P$ e $P'$ sono anelli isomorfi, e quindi posso confondere $P$ con $P'$, e viceversa.
In tal modo, si preservano i teoremi che abbiamo già assimilato negli anni.
"newton_1372":
dopo una notte molto lunga e piena di riflessioni, prendendo per buona la definizione di polinomio che mi è stata data qui, come si definisce lo ZERO di un polinomio di una certa molteplicità?
Ad un polinomio viene sempre di buona norma associata un'applicazione polinomiale; i.e., se \(p=(a_n)\) è un polinomio su un certo campo, la funzione polinomiale associata a \(p\) è ovviamente:
\[
p(x):= \sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n
\]
la quale è ben definita sul campo (perchè è una somma finita).
A questo punto, uno dice che \(c\) è uno zero (od una radice) di \(p\) se e solo se \(p(c)=0\).
Per definire la molteplicità di una radice si fa una costruzione formale un po' pezzotta... Infatti, innanzitutto si definisce un operatore di derivazione formale per i polinomi, i.e.:
\[
p^\prime = ((n+1) a_{n+1})
\]
(di modo che risulta \((1,1,1,0,\ldots, 0,\ldots)^\prime =(x^2+x+1)^\prime =2x+1=(1,2,0,\ldots ,0,\ldots)\) come uno si aspetta da Analisi I); poi, ovviamente, si dice che uno zero \(c\) di \(p\) ha molteplicità \(1\) se \(p(c)=0\) e \(p^\prime (c)\neq 0\); si dice che uno zero \(c\) di \(p\) ha molteplicità \(2\) se \(p(c)=0,\ p^\prime (c)=0\) e \(p^{\prime \prime} (c)\neq 0\); etc...
"newton_1372":
e conseguentemente, come si dimostrano tutti i risultati tipo ruffini?
In questo contesto, il teorema di Ruffini se non erro si rilegge così:
Un elemento \(c\) del campo è uno zero di \(p\) se e solo se il polinomio \(x-c:=(-c,1,0,\ldots ,0,\ldots )\) divide \(p\).
Un elemento \(c\) del campo è uno zero di \(p\) di molteplicità \(\nu\) se e solo se il polinomio \((x-c)^\nu\) divide \(p\) e \((x-c)^{\nu +1}\) non divide \(p\).
La dimostrazione non mi sembra sia troppo complicata...
Ah, a proposito di applicazioni polinomiali vs. polinomi... Proprio questo è il livello in cui si comprende bene il significato del PIP, Principio d'Identità dei Polinomi.
Infatti il PIP afferma che:
Siano \(p,q\) polinomi su un campo.
1. Se \(p=q\) (l'uguaglianza dei polinomi significando l'uguaglianza dei coefficienti, ordinati come è naturale), allora le due applicazioni polinomiali \(p(x)\) e \(q(x)\) coincidono.
2. Se le applicazioni polinomiali \(p(x)\) e \(q(x)\) coincidono e se il campo è infinito, allora \(p=q\).
La 1 è banalmente vera.
Nella 2 l'ipotesi che il campo sia infinito è ineliminabile: infatti i polinomi \(x^2\) ed \(x^4\) su \(\mathbb{Z}_3\) (che è un campo finito) generano la stessa applicazione polinomiale pur essendo diversi.
Quindi in generale, l'uguaglianza dappertutto delle applicazioni polinomiali associate a due polinomi non implica affatto che i due polinomi siano uguali... Insomma, l'uguaglianza di polinomi riguardati come applicazioni è più debole dell'uguaglianza dei polinomi riguardati come successioni.
La confusione tra l'aspetto formale e quello funzionale dei polinomi c'è pure in alcuni libri di testo delle superiori!!
Nel Cassina/Bondonno il principio di identità dei polinomi viene presentato come una definizione confondendo appunto i due aspetti. Come PIP scrivono che "Due polinomi, funzioni delle stesse variabili, si dicono identici se assumono valori uguali in corrispondenza degli stessi valori attribuiti alle variabili". E di seguito aggiungono: "In pratica ciò significa che due polinomi ridotti in forma normale per essere identici devono essere costituiti da termini uguali".
Nel Cassina/Bondonno il principio di identità dei polinomi viene presentato come una definizione confondendo appunto i due aspetti. Come PIP scrivono che "Due polinomi, funzioni delle stesse variabili, si dicono identici se assumono valori uguali in corrispondenza degli stessi valori attribuiti alle variabili". E di seguito aggiungono: "In pratica ciò significa che due polinomi ridotti in forma normale per essere identici devono essere costituiti da termini uguali".
"Francesco71":
La confusione tra l'aspetto formale e quello funzionale dei polinomi c'è pure in alcuni libri di testo delle superiori!!
Nel Cassina/Bondonno il principio di identità dei polinomi viene presentato come una definizione confondendo appunto i due aspetti. Come PIP scrivono che "Due polinomi, funzioni delle stesse variabili, si dicono identici se assumono valori uguali in corrispondenza degli stessi valori attribuiti alle variabili". E di seguito aggiungono: "In pratica ciò significa che due polinomi ridotti in forma normale per essere identici devono essere costituiti da termini uguali".
Il fatto è che alle superiori non c'è interesse nel distinguere funzione polinomiale e polinomi.
Perché si lavora su $RR$ che è un campo infinito...e le due nozioni si possono confondere. Anche se penso che sarebbe meglio dire sin dall'inizio , con termini semplici magari, cosa realmente sia un polinomio. Delle volte ciò che dovrebbe evitare una confusione, genera confusione ancor più grande..
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