Polinomio minimo e gruppo di galois
Ciao!
Il gruppi di Galois di una estensione del tipo $(k(a,b)) /k$ come posso determinarlo? So che c'entrano le radici di un polinomio ma non so se si tratti del prodotto di due polinomi minimi o di un polinomio minimo in due indeterminate.
Il gruppi di Galois di una estensione del tipo $(k(a,b)) /k$ come posso determinarlo? So che c'entrano le radici di un polinomio ma non so se si tratti del prodotto di due polinomi minimi o di un polinomio minimo in due indeterminate.
Risposte
E' una domanda troppo vaga. Aggiungi un minimo di contesto, oppure fai un esempio specifico.
La risposta dipende da a e b chiaramente...
Per esempio se volessi determinare il Galois di $(QQ(sqrt(2),sqrt(3))) /QQ$
Nell'esercizio con quei due campi si afferma che ha cardinalità minore od uguale del grado di $(x^2-2)(x^2-3)$ ma non vi é alcun teorema che ne anticipi il motivo. Giusto giusto quel prodotto è dato dai polinomi minimi rispettivamente di $sqrt(2)$ e $sqrt(3)$ e poi si esce dal sacco che consiste negli automorfismi che mandano
$sqrt(3)->sqrt(3)$ e $sqrt(2) -> sqrt(2)$
$sqrt(3)->sqrt(3)$ e $sqrt(2) -> -sqrt(2)$
$sqrt(3)->-sqrt(3)$ e $sqrt(2) -> sqrt(2)$
$sqrt(3)->-sqrt(3)$ e $sqrt(2) ->- sqrt(2)$
Sembra puzzare di generalizzazione del caso relativo alle estensioni semplici ma non riesco ad abbozzare una dimostrazione.
Per le estensioni semplici mostravo semplicemente che, posto $(k(a)) /k$ la estensione, $m in k[x] $ il polinomio minimo e $R={a in k(a) setminus k: m(a) =0}$, con la applicazione
$varphi: Gal((k(a)) /k) -> R$, $varphi(sigma) =sigma (a) $
Ottenessi una corrispondenza biunivoca. Non riesco però a generalizzarla
Nell'esercizio con quei due campi si afferma che ha cardinalità minore od uguale del grado di $(x^2-2)(x^2-3)$ ma non vi é alcun teorema che ne anticipi il motivo. Giusto giusto quel prodotto è dato dai polinomi minimi rispettivamente di $sqrt(2)$ e $sqrt(3)$ e poi si esce dal sacco che consiste negli automorfismi che mandano
$sqrt(3)->sqrt(3)$ e $sqrt(2) -> sqrt(2)$
$sqrt(3)->sqrt(3)$ e $sqrt(2) -> -sqrt(2)$
$sqrt(3)->-sqrt(3)$ e $sqrt(2) -> sqrt(2)$
$sqrt(3)->-sqrt(3)$ e $sqrt(2) ->- sqrt(2)$
Sembra puzzare di generalizzazione del caso relativo alle estensioni semplici ma non riesco ad abbozzare una dimostrazione.
Per le estensioni semplici mostravo semplicemente che, posto $(k(a)) /k$ la estensione, $m in k[x] $ il polinomio minimo e $R={a in k(a) setminus k: m(a) =0}$, con la applicazione
$varphi: Gal((k(a)) /k) -> R$, $varphi(sigma) =sigma (a) $
Ottenessi una corrispondenza biunivoca. Non riesco però a generalizzarla
L'estensione è separabile perchè tutte le estensioni in caratteristica 0 lo sono ed è normale perchè, ad esempio, è il campo di spezzamento del polinomio minimo di $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ (questa affermazione contiene due mini-esercizi: calcolare tale polinomio minimo e verificare che quello è il campo di spezzamento). Un'estensione è galoisiana se e solo se è separabile e normale. La tua lo è, e quindi ha senso calcolarne il gruppo di Galois.
Il gruppo di Galois ha ordine 4 perchè l'estensione ha grado 4. Ci sono solo 2 gruppi di ordine 4: $C_2\times C_2$ e $C_4$. Come si distinguono? Beh, il primo ha esponente 2. Ora, siccome l'estensione coincide con \(\mathbb Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})\), gli elementi del gruppo di Galois sono univocamente determinati dalla loro azione sulle radici del polinomio minimo di $\sqrt{2}+\sqrt{3}$, che come verificherai sono $\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$. D'altro canto $\sigma(\sqrt{2})=\pm\sqrt{2}$ e $\sigma(\sqrt{3})=\pm\sqrt{3}$, e da questo segue facilmente che tutti gli elementi del gruppo di Galois hanno ordine al più 2.
Il gruppo di Galois ha ordine 4 perchè l'estensione ha grado 4. Ci sono solo 2 gruppi di ordine 4: $C_2\times C_2$ e $C_4$. Come si distinguono? Beh, il primo ha esponente 2. Ora, siccome l'estensione coincide con \(\mathbb Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})\), gli elementi del gruppo di Galois sono univocamente determinati dalla loro azione sulle radici del polinomio minimo di $\sqrt{2}+\sqrt{3}$, che come verificherai sono $\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$. D'altro canto $\sigma(\sqrt{2})=\pm\sqrt{2}$ e $\sigma(\sqrt{3})=\pm\sqrt{3}$, e da questo segue facilmente che tutti gli elementi del gruppo di Galois hanno ordine al più 2.
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