Polinomio minimo di un elemento su $QQ , QQ[sqrt(3)], QQ[i]$

[Seneca1]

Buonasera. Volevo alcune conferme su un quesito. L'esercizio chiede: dato $a = sqrt(27)$, esibire il polinomio minimo di $a$ rispettivamente sui campi $QQ , QQ[ sqrt(3)] , QQ[sqrt(-1)]$.

Su $QQ$ dovrebbe essere $p_1 = x^2 - 27$ , su $QQ[ sqrt(3) ]$ dovrebbe essere $p_2 = x - 3 sqrt(3)$ mentre su $QQ$, non essendoci in $QQ$ il numero $sqrt(3)$, credo che sia nuovamente $p_1 = x^2 - 27$.

E' corretto?

[step451]

I primi 2 punti sono giusti; per il terzo punto il grado del polinomio minimo di $ \sqrt{27} $ su $ \mathbb{Q}[\sqrt{-1}] $ può essere 2 o 1; per escludere il caso 1 puoi provare a scrivere $ \sqrt{27} = a + b\sqrt{-1} $ con $ a, b \in \mathbb{Q} $, elevare al quadrato primo e secondo membro e vedere che in questo modo si arriva a una contraddizione; quindi il polinomio minimo di $ \sqrt{27} $ su $ \mathbb{Q}[\sqrt{-1}] $ è $x^{2} - 27 $ .

[Seneca1]

Ti ringrazio step, ogni tua parola fila come una sottiletta in un toast.

[step451]

Di niente !