Polinomio minimo

[anto_zoolander]

Ciao!

avrei bisogno di un check sulla dimostrazione della seguente affermazione

sia $K$ un campo e $a in K$ un elemento
$1$ se $p in K[x]$ è il polinomio minimo di $a$ allora è irriducibile ed in particolare lo si può prendere monico
$2$ se $p in K[x]$ è un polinomio irriducibile e monico allora è polinomio minimo di ogni sua radice

intanto posto $E_a={p in K[x]: p(a)=0}$ la quantità $min_(p in E_a)partialp$ è ben posta quindi in genere il polinomio minimo di un elemento del campo esiste sempre.

$1$. se $p$ è il polinomio minimo di $a$ e $p(x)=q(x)k(x)$ allora $p$ ha grado maggiore o uguale di entrambi i polinomi $q$ e $k$. Essendo $0=p(a)=q(a)k(a)$ almeno uno dei due elementi $q(a),k(a)$ deve essere nullo, suppongo $q(a)=0$, esso deve avere grado maggiore od uguale di quello del polinomio minimo ottenendo $partialq=partialp$ e quindi $partialk=0$ ovvero $k$ è un'unità e $p$ è irriducibile

$2$. sia $p$ è un polinomio irriducibile e minimo suppongo che $a in K$ sia una sua radice, data l'esistenza del polinomio minimo di $a$ pongo $g$ il suo polinomio minimo(monico) e mostro che $g=p$

divido $p$ per $g$ avendo $p(x)=g(x)q(x)+r(x)$

se fosse $r ne0$ con $partialr
essendo $p$ irriducibile, non potendo essere $q$ un'unità in quanto è non nullo ed è annullato da $a$, deve essere $q(x)=c$ per qualche $c$ non nullo. In particolare deve essere $c=1$ dato che i due polinomi sono monici

[spugna2]

Immagino che all'inizio volessi scrivere che $a$ appartiene a un'estensione algebrica di $K$, altrimenti il polinomio minimo sarebbe $x-a$ e quelle due affermazioni sarebbero banali. Per il resto tutto ok!

[anto_zoolander]

Grazie per averlo precisato
Avevo appena iniziato questo argomento e non era un refuso ma un vero e proprio errore. Grazie!