Polinomio minimo

[plinko1]

Mi servirebbe una mano per calcolare il polinomio minimo di $u=sqrt(1+sqrt(2))$ su $QQ$. Ho già trovato il polinomio che mi conferma che u è algebrico. Ora, c'è una via semplice per la quale posso sapere che il polinomio trovato è il polinomio minimo, tipo vedere che quel polinomio è monico e irriducibile, o devo passare per forza per il lemma del grado? Nel secondo caso, qualcuno potrebbe darmi una mano almeno ad iniziare?
Grazie mille in anticipo

[Pappappero1]

Ci sono dei criteri, tipo il criterio di Eisenstein, per verificare se un polinomio e' irriducibile.

Ma in grado basso come questo, anche senza scomodare criteri strani, spesso si puo' arrivare a una risposta. Di che grado e' il polinomio che hai trovato? Abbastanza facilmente si trova un polinomio $f$ di grado $4$ tale che $f(u) = 0$. E quel polinomio ha una struttura particolare, cosi' particolare che puoi facilmente scrivere tutte le sue radici! E una volta fatto questo, come si conclude?

[plinko1]

Che il polinomio è sicuramente irriducibile in $QQ$ e quindi è il polinomio minimo?

[Pappappero1]

L'idea e' quella. Ma bisogna fare un po' di conticini.

[plinko1]

I conti che dici tu sarebbero per vedere se il polinomio è irriducibile? in caso affermativo li ho già fatti, e in $QQ$ risulta irriducibile