Polinomio irriducibile ,spazio vettoriale,
1)Provare che $g(x)=x^3+x^2+1$ è irriducibile in $ZZ_2$.(fatto)
2)sia $alpha$ una sua radice,costriure $Z_2(alfa)$e trovare l'inverso di $3+alpha$ (non so farlo:-\ )
3)verificare che $Z_2(alpha)$ è spazio vettoriale su $Z_2$ e determinare una sua base
mi potete aiutare con i punti 2e 3?
2)sia $alpha$ una sua radice,costriure $Z_2(alfa)$e trovare l'inverso di $3+alpha$ (non so farlo:-\ )
3)verificare che $Z_2(alpha)$ è spazio vettoriale su $Z_2$ e determinare una sua base
mi potete aiutare con i punti 2e 3?
Risposte
Sto studiando anche io questi argomenti, percui spero di non dirti inesattezze:
$ZZ_2(alpha) \cong ZZ_2//(f)$ ove $f$ è il tuo polinomio irriducibile, ove gli elementi saranno del tipo $x+yalpha$ con $x,y in ZZ_2$...
Sappiamo inoltre che il grado dell'estensione è pari al grado del polinomio minimo di $f$ di $alpha$ pertanto sarà $3$, quindi una sua base è $1,alpha, alpha^2$
$ZZ_2(alpha) \cong ZZ_2//(f)$ ove $f$ è il tuo polinomio irriducibile, ove gli elementi saranno del tipo $x+yalpha$ con $x,y in ZZ_2$...
Sappiamo inoltre che il grado dell'estensione è pari al grado del polinomio minimo di $f$ di $alpha$ pertanto sarà $3$, quindi una sua base è $1,alpha, alpha^2$
Esatto mistake89!
grazie:-) il puntp 2 e' fatto.. e per trovare che Z2(α) è spazio vettoriale su Z2???
La somma due elementi di [tex]\mathbb{Z}_2(\alpha)[/tex] è in [tex]\mathbb{Z}_2(\alpha)[/tex] perché è un campo, il prodotto di un elemento di [tex]\mathbb{Z}_2(\alpha)[/tex] per un elemento di [tex]\mathbb{Z}_2[/tex] è in [tex]\mathbb{Z}_2(\alpha)[/tex] poiché; essendo [tex]\alpha[/tex] algebrico su [tex]\mathbb{Z}_2[/tex], è [tex]\mathbb{Z}_2(\alpha)=\mathbb{Z}_2[\alpha][/tex] (anello dei polinomi a coefficienti in [tex]\mathbb{Z}_2[/tex] valutati in [tex]\alpha[/tex]).
Invito comunque marygrazy a mostrare il suo procedimento in futuro, e non piazzare la richiesta così.
Se gli elementi fossero [tex]$x+y\alpha$[/tex] con [tex]$x,y \in \mathbb{Z}_2$[/tex], il campo ne conterrebbe solo 4, mentre sappiamo che sono 8
Gli elementi del campo si contano immaginando il quoziente
[tex]$\frac{\mathbb{Z}_2[x]}{(x^3+x^2+1)}$[/tex] come i polinomi [tex]$ax^2+bx+c$[/tex] al variare dei coefficienti in [tex]$\mathbb{Z}_2$[/tex]
Come noto, visto che l'isomorfismo è [tex]$[x] \rightarrow\alpha$[/tex], il campo è rappresentabile come
[tex]$\mathb{Z}_2(\alpha)=\{0,1,\alpha, \alpha+1, \alpha^2, \alpha^2+\alpha, \alpha^2+\alpha+1, \alpha^2+1 \quad:\quad \alpha^3+\alpha^2+1=0\}$[/tex]
Questa rappresentazione esplicita praticamente risolve anche il punto 3, perché è banale vedere che ogni elemento è combinazione lineare di [tex]$1, \alpha, \alpha^2$[/tex].
Per il punto 2 (inverso di [tex]$3+\alpha$[/tex]) tieni intanto conto che il tuo elemento è (siamo in caratteristica 2) [tex]$1+\alpha$[/tex].
Vedi se ti viene l'inverso.
Anche se è brutto dirlo, se in un'ipotetica situazione di esame non ti viene come fare, in questo caso hai $8$ elementi, quindi non è impensabile provarli tutti per trovare l'inverso
"mistake89":
$ZZ_2(alpha) \cong ZZ_2//(f)$ ove $f$ è il tuo polinomio irriducibile, ove gli elementi saranno del tipo $x+yalpha$ con $x,y in ZZ_2$...
Se gli elementi fossero [tex]$x+y\alpha$[/tex] con [tex]$x,y \in \mathbb{Z}_2$[/tex], il campo ne conterrebbe solo 4, mentre sappiamo che sono 8
Gli elementi del campo si contano immaginando il quoziente
[tex]$\frac{\mathbb{Z}_2[x]}{(x^3+x^2+1)}$[/tex] come i polinomi [tex]$ax^2+bx+c$[/tex] al variare dei coefficienti in [tex]$\mathbb{Z}_2$[/tex]
Come noto, visto che l'isomorfismo è [tex]$[x] \rightarrow\alpha$[/tex], il campo è rappresentabile come
[tex]$\mathb{Z}_2(\alpha)=\{0,1,\alpha, \alpha+1, \alpha^2, \alpha^2+\alpha, \alpha^2+\alpha+1, \alpha^2+1 \quad:\quad \alpha^3+\alpha^2+1=0\}$[/tex]
Questa rappresentazione esplicita praticamente risolve anche il punto 3, perché è banale vedere che ogni elemento è combinazione lineare di [tex]$1, \alpha, \alpha^2$[/tex].
Per il punto 2 (inverso di [tex]$3+\alpha$[/tex]) tieni intanto conto che il tuo elemento è (siamo in caratteristica 2) [tex]$1+\alpha$[/tex].
Vedi se ti viene l'inverso.
Anche se è brutto dirlo, se in un'ipotetica situazione di esame non ti viene come fare, in questo caso hai $8$ elementi, quindi non è impensabile provarli tutti per trovare l'inverso
"marygrazy":
1)Provare che $g(x)=x^3+x^2+1$ è irriducibile in $ZZ_2$.(fatto)
Ho un problema simile ma non riesco a farlo...non è che mi diresti come hai fatto ?:)
E' un polinomio di grado $3$ a coefficienti in $ZZ_2$, se si spezzasse fattorizzerebbe in un polinomio di grado $1$ ed uno di grado $2$, quindi ammetterebbe una radice. Cerca se in $ZZ_2$ ci sono radici (in fondo devi provare solo a sostituire $0$ e $1$) e se non ve ne sono, hai finito: è irriducibile.
Capito..grazie mille
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