Polinomio irriducibile mi manca l'ultimo passaggio!
il mio problema è riguardo teoria delle equzioni e di galois, ma la risoluzione è + in generale...
in pratica ho:un indeterminata U su L (che è un CS $L= (Z5[Y])/(y^2+2) $) e $g(x) = x^3+U^2x+U^3$ appartenente a $L(U)(x)$. devo dimostrare che $g(x)$ è irriducibile in $L[X]$ e dedurre che lo è in $L(U)[x]$.
sE PROVO UNA vale l'altra x c'è il se e solo se x il lemma di Gauss.
Allora io cosa faccio : con il principio di identità dei polinomi
scrivo $(x-a(U))(X^2+b(U)X+m(U))$ e lo pongo uguale a $x^3+u^2x+U^3$.
Si deve risolver eun sistema.
lo SVOLGO:
$(x-a(U))(X^2+b(U)X+m(U))$=$x^3+bUx^2+mUx-aUx^2-abU^2x-amU^2$
allora il coefficiente del termine $x^2$ deve essere uguale a zero e così via.
il termine in $x^2$ è $(bU-aU)=0$
poi termine in $x$ : $(mU-abU^2)=U^2$
e termine noto $-amU^2=U^3$
dalla prima metto in evidenza $U(b-a)=0$ segue $b=a$ oppure $U=0$
dalla seconda metto in evidenza U e semplifico $U(m-abU)=U^2$
$m-abU=U$ segue $m=abU+U$ $m=U(1+2a)$
DALLA TERZA $ -amU^2=U^3$ semplifico $U^2$ : $-am=U$
sostituisco $m$:
$-a(U+2aU)=U$
$-aU-2a^2U=U$
viene un'equazione di 2^ grado in a:
$2a^2U+aU+U=0$
ecco allora se dimostro che qst equazione non è mai zero in L allora si arriva ad un assurdo e quindi il polinomio di 3 grado di partenza non si può scomporre e quindi è irriducibile.
Ma non posso utilizzare il delta per trovarmi le radici perchè non sono in caratteristica 0.
Il CAMPO DI SPEZZAMENTO é $L=(Z5[Y])/(Y^2+2)$...ma $2a^2U+aU+U=0$ lo devo risolvere il $L$ giusto? e quindi? a questo punto sono bloccata...all'ultimo passaggio. Ho provato a sostituire al posto della a =0,1,2,3,4 ma non siamo in $Z5$ ma in L e quindi sbaglio vero?
non sto capendo + niente... xfavore aiutami è solo qst...
in pratica ho:un indeterminata U su L (che è un CS $L= (Z5[Y])/(y^2+2) $) e $g(x) = x^3+U^2x+U^3$ appartenente a $L(U)(x)$. devo dimostrare che $g(x)$ è irriducibile in $L[X]$ e dedurre che lo è in $L(U)[x]$.
sE PROVO UNA vale l'altra x c'è il se e solo se x il lemma di Gauss.
Allora io cosa faccio : con il principio di identità dei polinomi
scrivo $(x-a(U))(X^2+b(U)X+m(U))$ e lo pongo uguale a $x^3+u^2x+U^3$.
Si deve risolver eun sistema.
lo SVOLGO:
$(x-a(U))(X^2+b(U)X+m(U))$=$x^3+bUx^2+mUx-aUx^2-abU^2x-amU^2$
allora il coefficiente del termine $x^2$ deve essere uguale a zero e così via.
il termine in $x^2$ è $(bU-aU)=0$
poi termine in $x$ : $(mU-abU^2)=U^2$
e termine noto $-amU^2=U^3$
dalla prima metto in evidenza $U(b-a)=0$ segue $b=a$ oppure $U=0$
dalla seconda metto in evidenza U e semplifico $U(m-abU)=U^2$
$m-abU=U$ segue $m=abU+U$ $m=U(1+2a)$
DALLA TERZA $ -amU^2=U^3$ semplifico $U^2$ : $-am=U$
sostituisco $m$:
$-a(U+2aU)=U$
$-aU-2a^2U=U$
viene un'equazione di 2^ grado in a:
$2a^2U+aU+U=0$
ecco allora se dimostro che qst equazione non è mai zero in L allora si arriva ad un assurdo e quindi il polinomio di 3 grado di partenza non si può scomporre e quindi è irriducibile.
Ma non posso utilizzare il delta per trovarmi le radici perchè non sono in caratteristica 0.
Il CAMPO DI SPEZZAMENTO é $L=(Z5[Y])/(Y^2+2)$...ma $2a^2U+aU+U=0$ lo devo risolvere il $L$ giusto? e quindi? a questo punto sono bloccata...all'ultimo passaggio. Ho provato a sostituire al posto della a =0,1,2,3,4 ma non siamo in $Z5$ ma in L e quindi sbaglio vero?
non sto capendo + niente... xfavore aiutami è solo qst...
Risposte
"dreamer88":
il mio problema è riguardo teoria delle equzioni e di galois, ma la risoluzione è + in generale...
in pratica ho:un indeterminata U su L (che è un CS $L= (Z5[Y])/(y^2+2) $) e $g(x) = x^3+U^2x+U^3$ appartenente a $L(U)(x)$. devo dimostrare che $g(x)$ è irriducibile in $L[X]$ e dedurre che lo è in $L(U)[x]$.
sE PROVO UNA vale l'altra x c'è il se e solo se x il lemma di Gauss.
Allora io cosa faccio : con il principio di identità dei polinomi
scrivo $(x-a(U))(X^2+b(U)X+m(U))$ e lo pongo uguale a $x^3+u^2x+U^3$.
Si deve risolver eun sistema.
lo SVOLGO:
$(x-a(U))(X^2+b(U)X+m(U))=x^3+bUx^2+mUx-aUx^2-abU^2x-amU^2$
Attenzione la $U$ non è un divisore di $a(U)$ ma solo la sua indeterminata.
Quindi o scrivi $x^3+b(U)x^2+m(U)x-a(U)x^2-a(U)b(U)^2x-a(U)m(U)$ oppure $x^3+bx^2+mx-ax^2-ab^2x-am$ semplicemente dando per scontato il fatto che sono polinomi nella $U$.
Io userò quest'ultima per comodità...
"dreamer88":
allora il coefficiente del termine $x^2$ deve essere uguale a zero e così via.
il termine in $x^2$ è $(bU-aU)=0$
poi termine in $x$ : $(mU-abU^2)=U^2$
e termine noto $-amU^2=U^3$
Per lo stesso discorso di prima abbiamo:
$(b(U)-a(U))=0$ oppure $(b-a)=0$
$(m(U)-a(U)b(U))=U^2$ oppure $m-ab = U^2$
$-a(U)m(U)=U^3$ oppure $-am=U^3$
"dreamer88":
dalla prima metto in evidenza $U(b-a)=0$ segue $b=a$ oppure $U=0$
no, solamente $a=b$. Quindi da questo momento elimini $b$ dalle formule. Inoltre $U$ non appartiene a $L$.
"dreamer88":
dalla seconda metto in evidenza U e semplifico $U(m-abU)=U^2$
$m-abU=U$ segue $m=abU+U$ $m=U(1+2a)$
Qui hai fatto l'errore di raccogliere una $U$ che non c'era. Inoltre non ho capito il perché hai scritto $ab=2a$, quella è una moltiplicazione e quindi viene $m-a^2 = U^2$ cioè $m=U^2+a^2$
"dreamer88":
DALLA TERZA $ -amU^2=U^3$ semplifico $U^2$ : $-am=U$
sostituisco $m$:
$-a(U+2aU)=U$
$-aU-2a^2U=U$
viene un'equazione di 2^ grado in a:
$2a^2U+aU+U=0$
ecco allora se dimostro che qst equazione non è mai zero in L allora si arriva ad un assurdo e quindi il polinomio di 3 grado di partenza non si può scomporre e quindi è irriducibile.
Ma non posso utilizzare il delta per trovarmi le radici perchè non sono in caratteristica 0.
Il CAMPO DI SPEZZAMENTO é $L=(Z5[Y])/(Y^2+2)$...ma $2a^2U+aU+U=0$ lo devo risolvere il $L$ giusto? e quindi? a questo punto sono bloccata...all'ultimo passaggio. Ho provato a sostituire al posto della a =0,1,2,3,4 ma non siamo in $Z5$ ma in L e quindi sbaglio vero?
non sto capendo + niente... xfavore aiutami è solo qst...
In realtà sbagli perché prima di tutto $a\inL$ e non in $L$, come secondo cosa inoltre non viene quella equazione di secondo grado ma l'equazione $-aU^2 +a^3 =U^3$ cioè $U^3 +aU^2-a^3=0$.
Per i passaggi successivi ci devo pensare. Comunque si può anche lavorare sul polinomio di secondo grado in $X$: $X^2+aX+U^2+a^2$
capito, adesso correggo. ma iN $(Z5[Y])/(y^2+2)=$ L ci sono 25 elementi:
1 ,2 3, 4 ,5, a, 1+a, 2+a, 3+a, 4+a, 2a, 1+2a....ecc non è che per verificare che quell'ultimo polinomio di secondo grado trovato è irriducibile basta sostituire il 25 elementi che ho elencato e vedere che nessuno di quei 25 è radice? o con il fatto che c'è la u nel polinomio non si può verificare in questo modo?
1 ,2 3, 4 ,5, a, 1+a, 2+a, 3+a, 4+a, 2a, 1+2a....ecc non è che per verificare che quell'ultimo polinomio di secondo grado trovato è irriducibile basta sostituire il 25 elementi che ho elencato e vedere che nessuno di quei 25 è radice? o con il fatto che c'è la u nel polinomio non si può verificare in questo modo?
"vict85":
Quindi o scrivi $x^3+b(U)x^2+m(U)x-a(U)x^2-a(U)b(U)^2x-a(U)m(U)$ oppure $x^3+bx^2+mx-ax^2-ab^2x-am$ semplicemente dando per scontato il fatto che sono polinomi nella $U$.
Io userò quest'ultima per comodità...
viene
$x^3+b(U)x^2+m(U)x-a(U)x^2-a(U)b(U)x-a(U)m(U)$ cioè l'ultimo termine è -$a(u)b(u)x$ non $-a(u)b(u)^2 $
giusto?
"dreamer88":
dalla seconda metto in evidenza U e semplifico $U(m-abU)=U^2$
$m-abU=U$ segue $m=abU+U$ $m=U(1+2a)$
"vict85":
Qui hai fatto l'errore di raccogliere una $U$ che non c'era. Inoltre non ho capito il perché hai scritto $ab=2a$, quella è una moltiplicazione e quindi viene $m-a^2 = U^2$ cioè $m=U^2+a^2$
ma allora se scrivo $m-a^2$ e quindi sto togliendo una U, allora non deve essere $m-a^2 = U$?
e allora $m=u+a^2$
da -a(U)m(U)=U^3
non segue -am=u?
cioè -a(u)m(U)=-am(u)^2?
ma se pongo -am=u^3 qui hai sbagliato un segno perkè m=U +a^2 opp u^2+a^2, perkè non ho capito bene cm si tolgono queste u...
e quindi il polinomio finale è con tutti +..o sbaglio?
"vict85":
In realtà sbagli perché prima di tutto $a\inL$ e non in $L$, come secondo cosa inoltre non viene quella equazione di secondo grado ma l'equazione $-aU^2 +a^3 =U^3$ cioè $U^3 +aU^2-a^3=0$.
NON VIENE CON IL +?
Per la cosa della scritta sopra si: è $-a(U)b(U)x$, avevo copiato dal tuo e mi ero dimenticato di togliere quel due...
Non capisco come fa a venirti $m-a^2=u$ se è $m-a^2=u^2$.
In ogni caso:
$-am=U^3$
Da cio si deduce $gr(a)+gr(m)=3$, inoltre si sa che $gr(a)\ge 1$ e quindi $gr(m)\le2$
$-am=U(m-a^2)$
$Um - Ua^2 + am = 0$
$m(a+U) = Ua^2$
Quindi $U|m$ oppure $U|a$. Se $U|m$ allora $U|(U^2 + a^2)$ e quindi $U|a^2$ cioé $U|a$ perché $U$ è irriducibile. In modo analogo si giunge al fatto che se $U|a$ allora $U|m$.
Ponamo:
$m=Ut$
$a = Us$
Inoltre $Ut=U^2+a^2 = U^2(1+s^2)$ e quindi $t= U(1+s^2)$ e quindi $m=U^2(s^2+1)$ da cui si deduce che $gr(m)= 2 + gr(s^2+1) \ge 2$ e quindi $gr(m)=2$, $gr(s^2+1)= gr(s^2) = 0$ e quindi $gr(a)=1$.
Sostituendo e semplificando abbiamo che $(s^2+1)(s + 1) = s^2$ cioé $s^3+s+1=0$ dove $s\in L$.
Quindi basta dimostrare che il polinomio in $s$ scritto sopra non ha radici in $L$.
P.S: sempre che non abbia fatto errori nei calcoli prima...
Non capisco come fa a venirti $m-a^2=u$ se è $m-a^2=u^2$.
In ogni caso:
$-am=U^3$
Da cio si deduce $gr(a)+gr(m)=3$, inoltre si sa che $gr(a)\ge 1$ e quindi $gr(m)\le2$
$-am=U(m-a^2)$
$Um - Ua^2 + am = 0$
$m(a+U) = Ua^2$
Quindi $U|m$ oppure $U|a$. Se $U|m$ allora $U|(U^2 + a^2)$ e quindi $U|a^2$ cioé $U|a$ perché $U$ è irriducibile. In modo analogo si giunge al fatto che se $U|a$ allora $U|m$.
Ponamo:
$m=Ut$
$a = Us$
Inoltre $Ut=U^2+a^2 = U^2(1+s^2)$ e quindi $t= U(1+s^2)$ e quindi $m=U^2(s^2+1)$ da cui si deduce che $gr(m)= 2 + gr(s^2+1) \ge 2$ e quindi $gr(m)=2$, $gr(s^2+1)= gr(s^2) = 0$ e quindi $gr(a)=1$.
Sostituendo e semplificando abbiamo che $(s^2+1)(s + 1) = s^2$ cioé $s^3+s+1=0$ dove $s\in L$.
Quindi basta dimostrare che il polinomio in $s$ scritto sopra non ha radici in $L$.
P.S: sempre che non abbia fatto errori nei calcoli prima...
"vict85":
Per la cosa della scritta sopra si: è $-a(U)b(U)x$, avevo copiato dal tuo e mi ero dimenticato di togliere quel due...
Non capisco come fa a venirti $m-a^2=u$ se è $m-a^2=u^2$
perchè scrivo $m(u)-a^2(u)=U^2 $metto in evidenza una U e quindi rimane solo U al secondo membro...forse non ho capito il ragionameto..perkè scompare la U al primo menbro e al secondo membro no..
"vict85":
In ogni caso:
$-am=U^3$
Da cio si deduce $gr(a)+gr(m)=3$, inoltre si sa che $gr(a)\ge 1$ e quindi $gr(m)\le2$
$-am=U(m-a^2)$
$Um - Ua^2 + am = 0$
$m(a+U) = Ua^2$
Quindi $U|m$ oppure $U|a$. Se $U|m$ allora $U|(U^2 + a^2)$ e quindi $U|a^2$ cioé $U|a$ perché $U$ è irriducibile. In modo analogo si giunge al fatto che se $U|a$ allora $U|m$.
Ponamo:
$m=Ut$
$a = Us$
Inoltre $Ut=U^2+a^2 = U^2(1+s^2)$ e quindi $t= U(1+s^2)$ e quindi $m=U^2(s^2+1)$ da cui si deduce che $gr(m)= 2 + gr(s^2+1) \ge 2$ e quindi $gr(m)=2$, $gr(s^2+1)= gr(s^2) = 0$ e quindi $gr(a)=1$
ma $gr(a)+gr(m)=3$...? gr è il grado?!
"vict85":
Sostituendo e semplificando abbiamo che $(s^2+1)(s + 1) = s^2$ cioé $s^3+s+1=0$ dove $s\in L$.
Quindi basta dimostrare che il polinomio in $s$ scritto sopra non ha radici in $L$.
P.S: sempre che non abbia fatto errori nei calcoli prima...
E io posso trovare le radici in Z5...ma il L come faccio? Devo sostituire tutti i 25 elementi e vedere che non fa mai zero?
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