Polinomio irriducibile inseparabile
Oggi, a lezione, ci è stata data la definizione di polinomio inseparabile (un polinomio [tex]f(x) \in F[x][/tex] si dice inseparabile se almeno uno dei suoi fattori irriducibili ammette radici multiple nel campo di spezzamento), accompagnata da un esempio di polinomio irriducibile inseparabile. Si considerano il campo delle frazioni di [tex]\mathbb{Z}_3[t],\ F:=\mathbb{Z}_3(t)[/tex] (chiaramente, per esporre l'esempio suddetto, occorre un campo infinito di caratteristica non zero) ed il polinomio [tex]x^3-t \in F[x][/tex]. Tale polinomio è irriducibile perchè di grado 3 e privo di radici in [tex]F[/tex] (*). Inoltre, nel suo campo di spezzamento, grazie al fatto che la caratteristica del campo è 3, si ha che, detta [tex]\alpha[/tex] una radice del polinomio, [tex]f(x)=x^3-t=x^3-\alpha^3=(x-\alpha)^3[/tex], cioè [tex]\alpha[/tex] ha molteplicità 3 e pertanto il polinomio è inseparabile.
E' tutto chiaro, ho solo un dubbio nel passaggio (*). Come si mostra che tale polinomio è privo di radici in [tex]F[/tex]?
E' tutto chiaro, ho solo un dubbio nel passaggio (*). Come si mostra che tale polinomio è privo di radici in [tex]F[/tex]?
Risposte
Mi rispondo da solo.
Se [tex]f(x)[/tex] avesse una radice in [tex]F[/tex], questa sarebbe del tipo [tex]\frac{a_rt^r+...+a_1t+a_0}{b_st^s+...+b_1t+b_0}[/tex], con i coefficienti del denominatore non tutti nulli. Allora: [tex]\\ t = \left(\frac{a_rt^r+...+a_1t+a_0}{b_st^s+...+b_1t+b_0}\right)^3 = \frac{(a_rt^r+...+a_1t+a_0)^3}{(b_st^s+...+b_1t+b_0)^3} = \frac{a_r^3t^{3r}+...+a_1^3t^3+a_0^3}{b_s^3t^{3s}+...+b_1^3t^3+b_0^3} \Rightarrow \\ \Rightarrow t(b_s^3t^{3s}+...+b_1^3t^3+b_0^3)= a_r^3t^{3r}+...+a_1^3t^3+a_0^3 \Rightarrow \\ \Rightarrow b_s^3t^{3s+1}+...+b_1^3t^4+b_0^3t = a_r^3t^{3r}+...+a_1^3t^3+a_0^3[/tex]
Gli esponenti della indeterminata t a primo membro sono tutti del tipo [tex]3i[/tex], mentre a secondo menbro [tex]3j+1[/tex], e questo comporta che o il numeratore o il denominatore siano nulli, ma nessuna di queste due eventualità è ammissibile.
Se [tex]f(x)[/tex] avesse una radice in [tex]F[/tex], questa sarebbe del tipo [tex]\frac{a_rt^r+...+a_1t+a_0}{b_st^s+...+b_1t+b_0}[/tex], con i coefficienti del denominatore non tutti nulli. Allora: [tex]\\ t = \left(\frac{a_rt^r+...+a_1t+a_0}{b_st^s+...+b_1t+b_0}\right)^3 = \frac{(a_rt^r+...+a_1t+a_0)^3}{(b_st^s+...+b_1t+b_0)^3} = \frac{a_r^3t^{3r}+...+a_1^3t^3+a_0^3}{b_s^3t^{3s}+...+b_1^3t^3+b_0^3} \Rightarrow \\ \Rightarrow t(b_s^3t^{3s}+...+b_1^3t^3+b_0^3)= a_r^3t^{3r}+...+a_1^3t^3+a_0^3 \Rightarrow \\ \Rightarrow b_s^3t^{3s+1}+...+b_1^3t^4+b_0^3t = a_r^3t^{3r}+...+a_1^3t^3+a_0^3[/tex]
Gli esponenti della indeterminata t a primo membro sono tutti del tipo [tex]3i[/tex], mentre a secondo menbro [tex]3j+1[/tex], e questo comporta che o il numeratore o il denominatore siano nulli, ma nessuna di queste due eventualità è ammissibile.
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