Polinomio irriducibile - dubbi
Salve!
In un esercizio mi viene chiesto, per $K=Z_p$ con p primo e $2
2a parte)
Se possibile, scegliere $a,b,c$ in $Z_11$ in modo che 1,2 siano radici di $x^3+ax^2+bx+c$
Per quanto riguarda il primo quesito, avevo in mente di sostituire a $x->x+1$, in modo da poter utilizzare il criterio di Eisenstein, prima per $Z_3$, poi per $Z_5$ e $Z_7$.
E' una giusta via? Se sì, come procedo? Vuoto totale.
Per la 2a parte invece, non so proprio da che parte voltarmi.. vado a tentativi? Seguo un ragionamento?
In un esercizio mi viene chiesto, per $K=Z_p$ con p primo e $2
2a parte)
Se possibile, scegliere $a,b,c$ in $Z_11$ in modo che 1,2 siano radici di $x^3+ax^2+bx+c$
Per quanto riguarda il primo quesito, avevo in mente di sostituire a $x->x+1$, in modo da poter utilizzare il criterio di Eisenstein, prima per $Z_3$, poi per $Z_5$ e $Z_7$.
E' una giusta via? Se sì, come procedo? Vuoto totale.
Per la 2a parte invece, non so proprio da che parte voltarmi.. vado a tentativi? Seguo un ragionamento?
Risposte
Per il primo esercizio: il polinomio $r(x)=x^3+2x+1$ è di terzo grado, quindi è riducibile se e solo se ha radice.
In $ZZ_3$ si ha $r(0)=1$, $r(1)=1+2+1=1$, $r(2)=8+4+1=1$, quindi il polinomio è irriducibile in $ZZ_3[x]$.
Fai tu gli altri due casi
In $ZZ_3$ si ha $r(0)=1$, $r(1)=1+2+1=1$, $r(2)=8+4+1=1$, quindi il polinomio è irriducibile in $ZZ_3[x]$.
Fai tu gli altri due casi
Ok ti ringrazio, è vero per la prima parte non era niente di così assurdo.
Quindi per $Z_5$ ad esempio ho:
$r(0)=1, r(1)=4, r(2)=3, r(3)= 2+1+1= 4, r(4)=4+3+1=8=3$
A che conclusione arrivo? Che è irriducibile anche in $Z_5$?
Per quanto riguarda la scelta di $a,b,c$ in $Z_11$, come posso fare?
Ti ringrazio moltissimo per la risposta =)
Quindi per $Z_5$ ad esempio ho:
$r(0)=1, r(1)=4, r(2)=3, r(3)= 2+1+1= 4, r(4)=4+3+1=8=3$
A che conclusione arrivo? Che è irriducibile anche in $Z_5$?
Per quanto riguarda la scelta di $a,b,c$ in $Z_11$, come posso fare?
Ti ringrazio moltissimo per la risposta =)
Si è irriducibile anche in [tex]\mathbb{Z}_5[/tex].
Per l'altro problema prova a verificare per quali valori di [tex]a,b,c[/tex] ottieni [tex]1^3+a \cdot 1^2+b \cdot 1+c=0[/tex] e [tex]2^3+a \cdot 2^2+b \cdot 2+c=0[/tex], naturalmente in [tex]\mathbb{Z}_11[/tex]
Per l'altro problema prova a verificare per quali valori di [tex]a,b,c[/tex] ottieni [tex]1^3+a \cdot 1^2+b \cdot 1+c=0[/tex] e [tex]2^3+a \cdot 2^2+b \cdot 2+c=0[/tex], naturalmente in [tex]\mathbb{Z}_11[/tex]
Ciao, ascolta!
Impostando il sistema e svolgendolo arrivo ad avere $a,b,c$
con $b=6+2a$ e $c=-7-3a$.
Adesso, per ogni $a$ che scelgo è sempre verificato?
Un saluto.
Impostando il sistema e svolgendolo arrivo ad avere $a,b,c$
con $b=6+2a$ e $c=-7-3a$.
Adesso, per ogni $a$ che scelgo è sempre verificato?
Un saluto.
Io ho verificato solo per alcuni valori di [tex]a,b,c[/tex], anche perchè l'esercizio chiede di verificare se è possibile (quindi non è detto che sia possibile, e nel caso lo sia sempre) scegliere degli elementi di [tex]\mathbb{Z}_{11}[/tex] tali che [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex] siano radici di quell'equazione.
\( x^3+x^2+x+8\) ha come radici 1 e 2 in \( \mathbb{Z_{11}}\)
L'esercizio quindi è risolto se dimostro che è possibile, anche senza trovare per forza dei valori?
No, no l'esercizio chiede di trovarne, come nell'esempio di totissimus, per cui sarei dell'idea che devi presentare almeno un esempio per entrambe le radici.
Non capisco come venirne a capo, anche se credo di perdermi davvero in un bicchiere d'acqua.
Mettendo a sistema quell 2 condizioni che mi hai scritto tu ieri, trovo
$b=-7-3a$
$c=2a+6$
A questo punto, che faccio? Scelgo un valore qualsiasi di $a$?
Grazie per l'aiuto, scusate!
Mettendo a sistema quell 2 condizioni che mi hai scritto tu ieri, trovo
$b=-7-3a$
$c=2a+6$
A questo punto, che faccio? Scelgo un valore qualsiasi di $a$?
Grazie per l'aiuto, scusate!
In effetti ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua 
L'esercizio chiede di scegliere...., quindi non stare a calcolare nulla, "cerca" 3 valori da assegnare ai coefficienti e basta
Uno è l'esempio di totissimus: [tex]a=1,b=1,c=8[/tex], un altro cercalo tu
L'esercizio chiede di scegliere...., quindi non stare a calcolare nulla, "cerca" 3 valori da assegnare ai coefficienti e basta
Uno è l'esempio di totissimus: [tex]a=1,b=1,c=8[/tex], un altro cercalo tu
Ah ok, grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo