Polinomio irriducibile, campi perfetti

[Albert Wesker 27]

Si tratta di mostrare che se un campo $F$ ha caratteristica $p$ allora $F$ è perfetto se e solo se $F=F^p$. $Leftarrow$ non dà problemi. Supponiamo invece che $F$ sia perfetto e che per assurdo non valga la tesi. Sia allora $b in\ F-F^p$. Considero $f=x^p-b in\ F[x]$. Ora dovrei mostrare che è irriducibile. Come posso fare? Grazie

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Scrivi [tex]X^p-b = P(X) Q(X)[/tex] con [tex]P(X),Q(X) \in F[X][/tex] e con [tex]P(X)[/tex] di grado positivo, irriducibile e monico. Prendi [tex]\alpha[/tex] uno zero di [tex]P(X)[/tex] in un'opportuna estensione di [tex]F[/tex]. Allora in particolare [tex]\alpha^p = b[/tex]. [tex]P(X)[/tex] divide [tex]X^p-b = X^p-\alpha^p = (X-\alpha)^p[/tex] e quindi [tex]P(X)[/tex] è una potenza di [tex]X-\alpha[/tex], diciamo [tex]P(X) = (X-\alpha)^m[/tex]. Non può essere [tex]m=1[/tex] perché altrimenti [tex]\alpha \in F[/tex], il che contraddice il fatto che [tex]\alpha^p = b \not \in F^p[/tex]. Quindi [tex]m > 1[/tex]. In particolare [tex]P(X)[/tex] è un polinomio irriducibile con uno zero multiplo, che quindi è uno zero anche del polinomio derivato [tex]P'(X)[/tex]. Quindi [tex]P(X)[/tex] e [tex]P'(X)[/tex] non sono coprimi. Siccome [tex]P(X)[/tex] è irriducibile e [tex]P'(X)[/tex] ha grado minore del grado di [tex]P(X)[/tex], segue che [tex]P'(X)[/tex] è il polinomio nullo. Segue che gli esponenti di [tex]X[/tex] in [tex]P(X)[/tex] sono divisibili per [tex]p[/tex], in particolare, essendo [tex]P(X)[/tex] un polinomio non costante, il suo grado è almeno [tex]p[/tex]. Siccome [tex]P(X)[/tex] divide [tex]X^p-b[/tex] ed è monico, segue che [tex]P(X) = X^p-b[/tex]. Quindi [tex]X^p-b[/tex] è irriducibile su [tex]F[/tex].

[Albert Wesker 27]

Grazie mille! Dunque ho trovato un polinomio irriducibile che non ha radici semplici (usando Frobenius, $f$ ha una sola radice di molteciplità $p$). Assurdo poiché $F$ è perfetto, giusto?

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Giusto.