Polinomio in due variabili

[pigrecoedition]

Come posso dimostrare che il polinomio

$$
(x-y)(x^k-y^k)^p,
$$

con $p>2$ e dispari, $k>1$, $p$ non divide $k$, è un non quadrato in $\overline{K}[x,y]$, dove $K$ è un campo di caratteristica $p$?

[Stickelberger]

Invece puo’ essere un quadrato.

Sia $q>2$ la caratteristica di $K$. Allora per $p=1$ e $k=q$
l’espressione e’ uguale a $(x-y)^{q+1}$ ed e’ quindi un quadrato.

[hydro1]

$p>2$ per ipotesi, ma comunque si può aggiustare il controesempio.

@pigrecoedition: l'anello \(\overline K[x,y]\) è un UFD. Un polinomio è un quadrato se e solo se i suoi fattori irriducibili appaiono tutti con molteplicità pari nella fattorizzazione in irriducibili.

[pigrecoedition]

"Stickelberger":Invece puo’ essere un quadrato.

Sia $q>2$ la caratteristica di $K$. Allora per $p=1$ e $k=q$
l’espressione e’ uguale a $(x-y)^{q+1}$ ed e’ quindi un quadrato.

Ho dimenticato di dire che $p$ non divide $k$. Adesso si può dimostrare che è un non quadrato?

[Stickelberger]

Ma $(x-y)(x^k-y^k)^p$ e' un quadrato per qualche valore dispari di $p$
se e solo se e' un quadrato per ogni $p$ dispari $\ldots$, no?

[pigrecoedition]

"Stickelberger":Ma $(x-y)(x^k-y^k)^p$ e' un quadrato per qualche valore dispari di $p$
se e solo se e' un quadrato per ogni $p$ dispari $\ldots$, no?

Sì, e prendendo $k>1$ tale che $p$ non sia un suo divisore.

[Studente Anonimo]

"pigrecoedition":$$
(x-y)(x^k-y^k)^p,
$$

Parafrasando Stickelberger, se $k=q$ è la caratteristica di $K$, che assumiamo dispari, e $p$ è un qualsiasi primo dispari allora questo polinomio è uguale a $(x-y)^(1+pq)$, è un quadrato perché $1+pq$ è pari.

[pigrecoedition]

"Martino":[quote="pigrecoedition"]$$
(x-y)(x^k-y^k)^p,
$$

Parafrasando Stickelberger, se $k=q$ è la caratteristica di $K$, che assumiamo dispari, e $p$ è un qualsiasi primo dispari allora questo polinomio è uguale a $(x-y)^(1+pq)$, è un quadrato perché $1+pq$ è pari.[/quote]

Si può dire che è un quadrato se $k>1$, $p$ è la caratteristica di $K$ e $p$ non divide $k$?

[Studente Anonimo]

"pigrecoedition":$k>1$, $p$ è la caratteristica di $K$ e $p$ non divide $k$

In questo caso il polinomio è un non-quadrato. Per vederlo puoi osservare che se fosse un quadrato allora il polinomio in $x$ ottenuto sostituendo $y=1$, cioè $(x-1)(x^k-1)^p$, sarebbe un quadrato in $K[x]$. Ma questo è falso. Lo sai dimostrare?

Cioè sai dimostrare che $(x-1)(x^k-1)^p$ non è un quadrato in $K[x]$?

[pigrecoedition]

"Martino":[quote="pigrecoedition"]$k>1$, $p$ è la caratteristica di $K$ e $p$ non divide $k$

In questo caso il polinomio è un non-quadrato. Per vederlo puoi osservare che se fosse un quadrato allora il polinomio in $x$ ottenuto sostituendo $y=1$, cioè $(x-1)(x^k-1)^p$, sarebbe un quadrato in $K[x]$. Ma questo è falso. Lo sai dimostrare?

Cioè sai dimostrare che $(x-1)(x^k-1)^p$ non è un quadrato in $K[x]$?[/quote]

$(x-y)(x^k-y^k)^p=(x-y)^2(x^{k-1}+x^{k-2}+\ldots+x+1)^p.$

$(x^{k-1}+x^{k-2}+\ldots+x+1)$ è un non quadrato?

[Studente Anonimo]

Ti consiglio di pensare alla molteplicità delle radici.

Se un polinomio è un quadrato di un altro polinomio allora tutte le sue radici sono multiple.

Se $a$ è radice multipla di $P(x)$ (in altre parole $(x-a)^2$ divide $P(x)$) allora $a$ è radice del polinomio derivato $P'(x)$. Questo si dimostra facilmente. Prova ad usare questo fatto.

[pigrecoedition]

"Martino":Ti consiglio di pensare alla molteplicità delle radici.

Se un polinomio è un quadrato di un altro polinomio allora tutte le sue radici sono multiple.

Se $a$ è radice multipla di $P(x)$ (in altre parole $(x-a)^2$ divide $P(x)$) allora $a$ è radice del polinomio derivato $P'(x)$. Questo si dimostra facilmente. Prova ad usare questo fatto.

Questa dimostrazione è corretta?
Se $a$ è una radice $k$-esima dell' unità diversa da $1$ allora $(x-a)^p$ è la massima potenza di $(x-a)$ che divide $(x-1)(x^k-1)^p$; assurdo perché $p$ è dispari.

[Studente Anonimo]

Ma non è una dimostrazione. È solo una frase di senso compiuto. La devi dimostrare.

[pigrecoedition]

"Martino":Ma non è una dimostrazione. È solo una frase di senso compiuto. La devi dimostrare.

Sia $L=(x-1)(x^k-1)^p$. Osservando che $1$ è una radice di $L$ con molteplicità $p+1$ segue che esiste $a$ radice di $L$ diversa da $1$. Per assurdo suppongo che $L$ sia un quadrato e quindi $a$ è una radice del polinomio derivato $L'$. Dato che $L'=(x^k-1)^p$, segue che $a$ è una radice $k$-esima dell' unità e come radice di $L$ ha molteplicità uguale a $p$. Contraddizione.

[Studente Anonimo]

"pigrecoedition":$1$ è una radice di $L$ con molteplicità $p+1$

Questo lo devi dimostrare.

[pigrecoedition]

"Martino":[quote="pigrecoedition"]$1$ è una radice di $L$ con molteplicità $p+1$

Questo lo devi dimostrare.[/quote]

$L=(x-1)^{p+1}(x^{k-1}+x^{k-2}+ \ldots + x+1)^p$ e il polinomio $x^{k-1}+x^{k-2}+ \ldots +x+1$ non è divisibile per $x-1$.

[Studente Anonimo]

Continui a fare affermazioni senza dimostrarle. Inoltre dove usi che $p$ non divide $k$? Pensaci.

Il punto è che dai per scontato che le radici di $(x^k-1)^p$ hanno molteplicità $p$. Questo non è per niente scontato, ed è proprio il punto in cui usi che $p$ non divide $k$. Ti scrivo la dimostrazione.

Prima di tutto, per mostrare che le radici di $(x^k-1)^p$ hanno molteplicità $p$ basta evidentemente mostrare che le radici di $x^k-1$ hanno molteplicità $1$.

Ora, sia $P(x)=x^k-1$. Se $a$ è una sua radice allora $a^k-1=0$, cioè $a^k=1$. Se $a$ è una radice multipla allora, come abbiamo detto, $a$ è radice del polinomio derivato $P'(x)=kx^(k-1)$. Siccome $k$ (come elemento del campo $K$) è diverso da $0$ (perché $p$ non divide $k$ !!!) allora l'unica radice di $P'(x)=kx^(k-1)$ è $0$. Ma è chiaro che $a ne 0$, essendo $a^k=1$. Quindi $a$ NON è radice del polinomio derivato $P'(x)$.

Questo dimostra che le radici di $x^k-1$ hanno molteplicità $1$.

E quindi le radici di $(x-1)(x^k-1)^p$ diverse da $1$ hanno molteplicità $p$, mentre $1$ ha molteplicità $p+1$, da cui segue che quel polinomio non è un quadrato, perché se fosse un quadrato tutte le sue radici avrebbero molteplicità pari (qui stiamo usando che $k > 1$).

[pigrecoedition]

"Martino":Continui a fare affermazioni senza dimostrarle. Inoltre dove usi che $p$ non divide $k$? Pensaci.

Il punto è che dai per scontato che le radici di $(x^k-1)^p$ hanno molteplicità $p$. Questo non è per niente scontato, ed è proprio il punto in cui usi che $p$ non divide $k$. Ti scrivo la dimostrazione.

Prima di tutto, per mostrare che le radici di $(x^k-1)^p$ hanno molteplicità $p$ basta evidentemente mostrare che le radici di $x^k-1$ hanno molteplicità $1$.

Ora, sia $P(x)=x^k-1$. Se $a$ è una sua radice allora $a^k-1=0$, cioè $a^k=1$. Se $a$ è una radice multipla allora, come abbiamo detto, $a$ è radice del polinomio derivato $P'(x)=kx^(k-1)$. Siccome $k$ (come elemento del campo $K$) è diverso da $0$ (perché $p$ non divide $k$ !!!) allora l'unica radice di $P'(x)=kx^(k-1)$ è $0$. Ma è chiaro che $a ne 0$, essendo $a^k=1$. Quindi $a$ NON è radice del polinomio derivato $P'(x)$.

Questo dimostra che le radici di $x^k-1$ hanno molteplicità $1$.

E quindi le radici di $(x-1)(x^k-1)^p$ diverse da $1$ hanno molteplicità $p$, mentre $1$ ha molteplicità $p+1$, da cui segue che quel polinomio non è un quadrato, perché se fosse un quadrato tutte le sue radici avrebbero molteplicità pari (qui stiamo usando che $k > 1$).

Grazie mille @Martino.