Polinomio gr(f)>4 risolubile per radicali
Sia $K$ un campo di caratteristica zero. Ogni polinomio
$f \in K [x]$ di grado minore o uguale a $4$ è risolubile per radicali su $K$.
$Gal (F/K) ~= S_4 \Rightarrow Gal (F/K) $ è risolubile, dove $F$ è campo di spezzamento di $f$ su $K$
Se invece $gr(f)=p>=5$, con $p$ primo immagino , $f$ non è risolubile (qua niente dimostrazione, fa solo un esempio)
Qualcuno mi spiega questi due risultati?
$f \in K [x]$ di grado minore o uguale a $4$ è risolubile per radicali su $K$.
$Gal (F/K) ~= S_4 \Rightarrow Gal (F/K) $ è risolubile, dove $F$ è campo di spezzamento di $f$ su $K$
Se invece $gr(f)=p>=5$, con $p$ primo immagino , $f$ non è risolubile (qua niente dimostrazione, fa solo un esempio)
Qualcuno mi spiega questi due risultati?
Risposte
Che c'è da spiegare scusa?
Il teorema (in questione) di Galois afferma che un polinomio \(\displaystyle f\) è risolubile per radicali su un campo \(\displaystyle\mathbb{F}\) di caratteristica \(\displaystyle0\) se e solo se il gruppo di Galois di \(\displaystyle f\) su \(\displaystyle\mathbb{F}\) è risolubile.
In particolare, \(\displaystyle\mathrm{Sym}4\) è risolubile, quindi tutti i suoi sottogruppi sono risolubili!
Usando le notazioni del teorema, se \(\displaystyle\deg f\leq4\) allora \(\displaystyle\mathrm{Gal}(f,\mathbb{F})\leq\mathrm{Sym}4\) (oppure sbaglio?) onde l'affermazione che tutti i polinomi di grado al più \(\displaystyle4\) su \(\displaystyle\mathbb{F}\) sono risolubili per radicali.
Dal grado \(\displaystyle5\) in poi come ti comporti?
Il teorema (in questione) di Galois afferma che un polinomio \(\displaystyle f\) è risolubile per radicali su un campo \(\displaystyle\mathbb{F}\) di caratteristica \(\displaystyle0\) se e solo se il gruppo di Galois di \(\displaystyle f\) su \(\displaystyle\mathbb{F}\) è risolubile.
In particolare, \(\displaystyle\mathrm{Sym}4\) è risolubile, quindi tutti i suoi sottogruppi sono risolubili!
Usando le notazioni del teorema, se \(\displaystyle\deg f\leq4\) allora \(\displaystyle\mathrm{Gal}(f,\mathbb{F})\leq\mathrm{Sym}4\) (oppure sbaglio?) onde l'affermazione che tutti i polinomi di grado al più \(\displaystyle4\) su \(\displaystyle\mathbb{F}\) sono risolubili per radicali.
Dal grado \(\displaystyle5\) in poi come ti comporti?
"j18eos":
Che c'è da spiegare scusa?
Il teorema (in questione) di Galois afferma che un polinomio \(\displaystyle f\) è risolubile per radicali su un campo \(\displaystyle\mathbb{F}\) di caratteristica \(\displaystyle0\) se e solo se il gruppo di Galois di \(\displaystyle f\) su \(\displaystyle\mathbb{F}\) è risolubile.
In particolare, \(\displaystyle\mathrm{Sym}4\) è risolubile, quindi tutti i suoi sottogruppi sono risolubili!
Usando le notazioni del teorema, se \(\displaystyle\deg f\leq4\) allora \(\displaystyle\mathrm{Gal}(f,\mathbb{F})\leq\mathrm{Sym}4\) (oppure sbaglio?) onde l'affermazione che tutti i polinomi di grado al più \(\displaystyle4\) su \(\displaystyle\mathbb{F}\) sono risolubili per radicali.
Dal grado \(\displaystyle5\) in poi come ti comporti?
Ciao!
Scusa se rispondo solo ora, ma solo ora mi sono accorta della tua risposta, intanto ti ringrazio.
Non avevo mai sentito parlare di gruppi risolubili prima quindi in questi giorni ho cercato di colmare un po' le mie lacune ed ecco il risultato che mi mancava : se $n ≤ 4$ allora $S_n $è risolubile, e quindi ogni sottogruppo di $S_n$ è risolubile; se $n ≥ 5$ allora $S_n$ non è risolubile.
Sì, esatto!
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