Polinomio divisore dello zero.
Salve a tutti...avrei bisogno di qualcuno che mi illimini per questo esercizio.
Abbiamo un anello commutativo A privo di elementi nilpotenti diversi da 0. Consideriamo un polinomio $f(x)=a_(0)+a_(1)x+.....+a_(m)x^m$ appartenente ad $A[x]$. Supponiamo $f(x)$ divisore dello 0. Dobbiamo dimostrare che esiste un elemento $b$ (diverso da 0) in A tale che, se moltiplicato per tutti i coefficienti di $f(x)$, dia come risultato 0. $(ba_(0)=ba_(1)=....=ba_(m)=0)$
Allora, so per ipotesi che esiste un certo $q(x)$ appartenente ad $A[x]$ tale che $q(x)f(x)=0$. Stando a ciò che bisogna dimostrare $q(x)$ si dovrebbe ridurre al solo elemento b. (il suo grado è 0). Supponiamo $deg(q)=t>m=deg(f)$ e chiamiamo rispettivamente $a$ e $c$ i termini noti di $f(x)$ e $q(x)$. Allora $ac=0$ e perciò a è diverso da c essendo a non nilpotente. Lo stesso ragionamento si dovrebbe fare sui due termini direttori di $f(x)$ e $q(x)$..
Ora non so proprio cosa fare e a cosa possano servire queste deduzioni nella dimostrazione.
Se riuscissi a dimostrare che ogni coefficiente di $f(x)$ fosse divisore dello zero allora il termine b da cercare sarebbe il prodotto di tutti gli elementi tali che, moltiplicati ciascuno per ogni coefficiente di $f(x)$, diano come risultato 0. Ovviamente bisognerebbe cercare questi elementi in $q(x)$...
Qualcuno ha qualche idea? Il ragionamento fila?
Grazie.
Abbiamo un anello commutativo A privo di elementi nilpotenti diversi da 0. Consideriamo un polinomio $f(x)=a_(0)+a_(1)x+.....+a_(m)x^m$ appartenente ad $A[x]$. Supponiamo $f(x)$ divisore dello 0. Dobbiamo dimostrare che esiste un elemento $b$ (diverso da 0) in A tale che, se moltiplicato per tutti i coefficienti di $f(x)$, dia come risultato 0. $(ba_(0)=ba_(1)=....=ba_(m)=0)$
Allora, so per ipotesi che esiste un certo $q(x)$ appartenente ad $A[x]$ tale che $q(x)f(x)=0$. Stando a ciò che bisogna dimostrare $q(x)$ si dovrebbe ridurre al solo elemento b. (il suo grado è 0). Supponiamo $deg(q)=t>m=deg(f)$ e chiamiamo rispettivamente $a$ e $c$ i termini noti di $f(x)$ e $q(x)$. Allora $ac=0$ e perciò a è diverso da c essendo a non nilpotente. Lo stesso ragionamento si dovrebbe fare sui due termini direttori di $f(x)$ e $q(x)$..
Ora non so proprio cosa fare e a cosa possano servire queste deduzioni nella dimostrazione.
Se riuscissi a dimostrare che ogni coefficiente di $f(x)$ fosse divisore dello zero allora il termine b da cercare sarebbe il prodotto di tutti gli elementi tali che, moltiplicati ciascuno per ogni coefficiente di $f(x)$, diano come risultato 0. Ovviamente bisognerebbe cercare questi elementi in $q(x)$...
Qualcuno ha qualche idea? Il ragionamento fila?
Grazie.
Risposte
Posso consigliarti di usare il MathML o il TeX: girerebbero meno gli occhi nel leggere il post.
Per usare il MathML ti basta piazzare un dollaro all'inizio ed uno alla fine di ciascuna formuletta che hai scritto.
Per usare il MathML ti basta piazzare un dollaro all'inizio ed uno alla fine di ciascuna formuletta che hai scritto.
siano $p(x)=b_m x^m+...+b_1 x+b_0$,$f(x)=a_n x^n+...+a_1 x+a_0$ con $a_n!=0,b_m!=0$ e $f(x)p(x)=0$
allora $sum_{i=0}^{n+m}(sum_{t+s=i} a_t b_s)x^i=0$
quindi tutti i coefficienti $sum_{t+s=i} a_t b_s$ sono uguali a zero
per $i=n+m$ otteniamo $a_nb_m=0$ (il prodotto dei coefficienti direttori)
per $i=m+n-1$ otteniamo $a_nb_(m-1)+a_(n-1)b_m=0$ moltiplicando per $b_m$ e considerando la relazione precedente ottengo $a_(n-1)*b_m^2$
iterando otterrai $a_(n-i)*b_m^(i+1)=0$ (a te l'onere di verificare
)
l'elemento che cerchi è $b_m^(n+1)$ che è non nullo per l'ipotesi sugli elementi nilpotenti.
allora $sum_{i=0}^{n+m}(sum_{t+s=i} a_t b_s)x^i=0$
quindi tutti i coefficienti $sum_{t+s=i} a_t b_s$ sono uguali a zero
per $i=n+m$ otteniamo $a_nb_m=0$ (il prodotto dei coefficienti direttori)
per $i=m+n-1$ otteniamo $a_nb_(m-1)+a_(n-1)b_m=0$ moltiplicando per $b_m$ e considerando la relazione precedente ottengo $a_(n-1)*b_m^2$
iterando otterrai $a_(n-i)*b_m^(i+1)=0$ (a te l'onere di verificare
)l'elemento che cerchi è $b_m^(n+1)$ che è non nullo per l'ipotesi sugli elementi nilpotenti.
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