Polinomio di terzo grado irriducibile.
Devo provare che il polinomio in s, $s^3+s+1=0$. dove s appartiene ad L(dico dopo cos'è) non ha radici in L.
$L=(Z5[Y])/(Y^2+2)$
devo sostiturire ad s i 25 elementi di L cioè (1+a, 2+a, 3+a ecc ) e poi verificare che non fa mai zero ,oppure c'è un modo più semplice?
help è importante (:()
$L=(Z5[Y])/(Y^2+2)$
devo sostiturire ad s i 25 elementi di L cioè (1+a, 2+a, 3+a ecc ) e poi verificare che non fa mai zero ,oppure c'è un modo più semplice?
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Risposte
Dunque, vogliamo sapere se il polinomio $p(X) = X^3 + X + 1 \in F_25 [X]$ ha radici in $L=F_25 = F_{5^2}$.
Osservimo che $p(X) in F_5 [X]$ e che nel campo $F_5$ non ha radici (basta verificare che non fa mai zero sui cinque elementi di $F_5$);
ma per i polinomi di 3° grado, il fatto di non avere radici equivale alla irriducibilità. Perciò $p(X)$ è irriducibile in $F_5 [X]$.
Allora, posto $K$ il campo di spezzamento di $p$ su $F_5$, si ha, per l'irriducibilità di $p$, $K=F_{5^3}$.
Ebbene, $K=F_{5^3}$ contiene tutte le radici di $p$.
Ora osserviamo che $K \cap L = F_{5^3} \cap F_{5^2} = F_5$: infatti 2 e 3 sono coprimi.
Allora se $p$ ha qualche radice in $L$ la deve avere in $F_5$, ma ciò è già stato escluso.
Quindi $p$ non ha radici in $L$.
Osservimo che $p(X) in F_5 [X]$ e che nel campo $F_5$ non ha radici (basta verificare che non fa mai zero sui cinque elementi di $F_5$);
ma per i polinomi di 3° grado, il fatto di non avere radici equivale alla irriducibilità. Perciò $p(X)$ è irriducibile in $F_5 [X]$.
Allora, posto $K$ il campo di spezzamento di $p$ su $F_5$, si ha, per l'irriducibilità di $p$, $K=F_{5^3}$.
Ebbene, $K=F_{5^3}$ contiene tutte le radici di $p$.
Ora osserviamo che $K \cap L = F_{5^3} \cap F_{5^2} = F_5$: infatti 2 e 3 sono coprimi.
Allora se $p$ ha qualche radice in $L$ la deve avere in $F_5$, ma ciò è già stato escluso.
Quindi $p$ non ha radici in $L$.
scusa l'ignoranza..ma cosa intendi tu per $F_5$???e quali sono i suoi elementi??è una notazione che non ho mai visto...
Sia $p$ un numero primo; allora indico con $F_p$ il campo $ZZ_p$ costituito dalle classi resto degli interi modulo $p$. E fissata una chiusura algebrica di $F_p$ indico con $F_{p^n}$ l'unico campo contenuto nella chiusura algebrica che abbia grado $n$ su $F_p$.
$F_{p^n}$ è l'unico campo (a meno di isomorfismo) con $p^n$ elementi.
Per capirsi: $F_5$ è il campo $ZZ_5$; e $F_25$ è l'unico campo contenente $F_5$ che abbia grado 2 su $F_5$. Ad esempio $F_25$ è isomorfo a $F_5[Y] \ // \ (Y^2 + 1)$ perché il polinomio $Y^2 + 1$ è irriducibile su $F_5$.
Attenzione a non confondere $F_{p^n}$ con $ZZ_{p^n}$!! Per $n=1$ sono la stessa cosa, ma per $n \geq 2$ no!! Infatti per $n \geq 2$ il primo è un campo, mentre il secondo non è neanche un dominio d'integrità!
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$F_{p^n}$ è l'unico campo (a meno di isomorfismo) con $p^n$ elementi.
Per capirsi: $F_5$ è il campo $ZZ_5$; e $F_25$ è l'unico campo contenente $F_5$ che abbia grado 2 su $F_5$. Ad esempio $F_25$ è isomorfo a $F_5[Y] \ // \ (Y^2 + 1)$ perché il polinomio $Y^2 + 1$ è irriducibile su $F_5$.
Attenzione a non confondere $F_{p^n}$ con $ZZ_{p^n}$!! Per $n=1$ sono la stessa cosa, ma per $n \geq 2$ no!! Infatti per $n \geq 2$ il primo è un campo, mentre il secondo non è neanche un dominio d'integrità!
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si grazie!!!! 
grazie mille per l'aiuto 
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