Polinomi nel campo dei complessi
Non ho ben chiaro come trovare le radici di un polinomio nel campo dei complessi. Ho studiato la teoria, ma ho alcune difficoltà con gli esercizi. Posto un esercizio sperando che vi faciliti nel darmi alcune linee guida per la soluzione.
$ X^4 - ( 1+ 4*i )* X^3 + (-6+3*i)*X^2 + ( 3+4*i )*X + ( 1-i ) $
Grazie mille
$ X^4 - ( 1+ 4*i )* X^3 + (-6+3*i)*X^2 + ( 3+4*i )*X + ( 1-i ) $
Grazie mille
Risposte
I modi ci sarebbero, ma sono piuttosto lunghetti, o almeno non conosco metodi "corti" per fare questi calcoli.
Un primo approccio sarebbe evidenziare parte reale e parte immaginaria e provare a vedere se vi sono radici prima di tutto reali. Un altro potrebbe essere prendere polinomi di primo grado del tipo $(x - z_1)$ dove $z_i, i in (1,2,3,4)$ sono le quattro radici del polinomio che sai che esistono per il teorema fondamentale dell'algebra, e moltiplicare i quattro polinomi uguagliando il prodotto al polinomio che hai scritto. Svolgendo, poi, ti accorgi che rispettano la teoria dei polinomi simmetrici quindi ti basterà riscrivere il tutto sottoforma di polinomi simmetrici elementari (comunque con i calcoli si vedrà facilmente). A quel punto divertirti a risolvere il sistema.
Ovviamente io non avevo voglia di mettermi a farlo e ho provato, e sono stato fortunato, i valori $i$ e $-i$ e ho trovato che il primo è radice del polinomio, a meno di errori di calcolo, ho cercato il polinomio di terzo grado adatto da moltiplicare a $(x-i)$ ed ecco:
$p(x) = (x - i)*(x^3 - x^2(1 + 3i) + x(-3 + 2i) +1 +i)$
RETTIFICATO:
La radice $i$ ha molteplicità algebrica 3:
$p(x) = (x-i)^3*(x - (1 + i))$
A dire il vero, se non ero fortunato trovando la radice $i$ e iterando il procedimento, non so come avrei formulato l'esercizio in maniera più "tradizionale".
Un primo approccio sarebbe evidenziare parte reale e parte immaginaria e provare a vedere se vi sono radici prima di tutto reali. Un altro potrebbe essere prendere polinomi di primo grado del tipo $(x - z_1)$ dove $z_i, i in (1,2,3,4)$ sono le quattro radici del polinomio che sai che esistono per il teorema fondamentale dell'algebra, e moltiplicare i quattro polinomi uguagliando il prodotto al polinomio che hai scritto. Svolgendo, poi, ti accorgi che rispettano la teoria dei polinomi simmetrici quindi ti basterà riscrivere il tutto sottoforma di polinomi simmetrici elementari (comunque con i calcoli si vedrà facilmente). A quel punto divertirti a risolvere il sistema.
Ovviamente io non avevo voglia di mettermi a farlo e ho provato, e sono stato fortunato, i valori $i$ e $-i$ e ho trovato che il primo è radice del polinomio, a meno di errori di calcolo, ho cercato il polinomio di terzo grado adatto da moltiplicare a $(x-i)$ ed ecco:
$p(x) = (x - i)*(x^3 - x^2(1 + 3i) + x(-3 + 2i) +1 +i)$
RETTIFICATO:
La radice $i$ ha molteplicità algebrica 3:
$p(x) = (x-i)^3*(x - (1 + i))$
A dire il vero, se non ero fortunato trovando la radice $i$ e iterando il procedimento, non so come avrei formulato l'esercizio in maniera più "tradizionale".
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