Polinomi irriducibili monici

[faby99s]

Buongiorno volevo chiedere se questo esercizio che ho fatto è corretto non avendo risultati: viene chiesto di scomporre il polinomio f in irriducibile monico:

$f=(x^3+bar1)(x^3-x+bar1) \in Z_3[x]$

Ho scomposto solo:
$(x^3+bar1)$

Perche:

(x^3-x+bar1)
è gia irriducibile monico essendo il grado 3 ed non ha nessuna radice. Mentre per:

$(x^3+bar1)$

Ho applicato la divisione tra:

$(x^3+bar1)$
e

$(x+bar2)$

ed ho ottenuto che:

$(x^3+bar1)$ = $(x^2+bar2x+bar4)(x-bar2)$

dove

$(x-bar2)$

che ha grado 1 è irriducibile ed ha una rafice cioè $f(-bar2)$ . Ma:

$(x^2+bar2x+bar4)$

è irriducibile perché ha nessuna radice in $Z_3[X]$.

Quindi il polinomio f in polinomio irriducibile monico è:

$ f_1 = (x^3-x+bar1)(x-bar2)(x^2+bar2x+bar4)$

[hydro1]

"sara09":Buongiorno volevo chiedere se questo esercizio che o fatto

HO fatto, ti prego.

Poi $x^3+1=(x+1)^3$ in \(\mathbb Z/3\mathbb Z\).

[faby99s]

"hydro":[quote="sara09"]Buongiorno volevo chiedere se questo esercizio che o fatto

HO fatto, ti prego.

Poi $x^3+1=(x+1)^3$ in \(\mathbb Z/3\mathbb Z\).[/quote]

scusa scrivendo di fretta non ho visto che mancava "l'h" ho ricontrollato solo le formule. Ha quindi il polinomio irriducibile monico lo si può scomporre cosi senza usare ruffini:

$ f_1 = (x+1)^3(x^2+2x+4)$

[@melia]

Perché scrivi $ (x^3+bar1)= (x^2+bar2x+bar4)(x-bar2) $ e non $ (x^3+bar1)= (x^2-bar1x+bar1)(x+bar1) $?
Da cui $ (x^3+bar1)= (x^2-bar1x+bar1)(x+bar1) = (x^2+bar2x+bar1)(x+bar1)= (x+bar1)^3$

[faby99s]

"@melia":Perché scrivi $ (x^3+bar1)= (x^2+bar2x+bar4)(x-bar2) $ e non $ (x^3+bar1)= (x^2-bar1x+bar1)(x+bar1) $?
Da cui $ (x^3+bar1)= (x^2-bar1x+bar1)(x+bar1) = (x^2+bar2x+bar1)(x+bar1)= (x+bar1)^3$

Ho applicato ruffini ho diviso per $x-bar2$

[@melia]

Ho capito, ma $bar4$ quanto vale in \( \mathbb Z/3\mathbb Z \)?

[faby99s]

"@melia":Ho capito, ma $bar4$ quanto vale in \( \mathbb Z/3\mathbb Z \)?

Vale 1 perche ho $[4]_3 = {4 + 3(-1)}=1$

[@melia]

E allora non è più conveniente scrivere 1? Così da poter scomporre immediatamente il polinomio?

[faby99s]

"@melia":E allora non è più conveniente scrivere 1? Così da poter scomporre immediatamente il polinomio?

Si vero hai ragione è più semplice fare cosi e non mi complico la vita
Grazie mille