Polinomi irriducibili in Q[x]
ciao a tutti!!! devo dimostrare che i seguenti polinomi sono irriducibili in $QQ[x]$:
(a) $x^3+2x-1$
(b) $x^3-9$
(c) $x^7+3x^4+12x^3+6$
(d) $x^4-3x^3-x^2+7x+21$ (per riduzione)
(e) $x^4+4x^3+6x^2+8x+7$ (per sostituzione)
Io ho pensato di procedere in questo modo:
(a) il polinomio non ha zeri quindi e' irriducibile in $ZZ[x]$ e qiundi anche in $QQ[x]$
(b) e'irriducibile per Eisenstein: prendo p=9. p non divide 1,p divide 9 e p^2 non divide 9
(c) e'irriducibile per Eisenstein: prendo p=3. p non divide 1,p divide 3,12,6 e p^2 non divide 6
(d) riduzione modulo 2(??)
(e) sostituisco $x$ con $x+1$(??)
i primi punti sono giusti? per il punto (d) ed (e) non so come procedere!....
(a) $x^3+2x-1$
(b) $x^3-9$
(c) $x^7+3x^4+12x^3+6$
(d) $x^4-3x^3-x^2+7x+21$ (per riduzione)
(e) $x^4+4x^3+6x^2+8x+7$ (per sostituzione)
Io ho pensato di procedere in questo modo:
(a) il polinomio non ha zeri quindi e' irriducibile in $ZZ[x]$ e qiundi anche in $QQ[x]$
(b) e'irriducibile per Eisenstein: prendo p=9. p non divide 1,p divide 9 e p^2 non divide 9
(c) e'irriducibile per Eisenstein: prendo p=3. p non divide 1,p divide 3,12,6 e p^2 non divide 6
(d) riduzione modulo 2(??)
(e) sostituisco $x$ con $x+1$(??)
i primi punti sono giusti? per il punto (d) ed (e) non so come procedere!....
Risposte
(a) Non è vero. Infatti qualsiasi polinomio di grado superiore al secondo ammette almeno uno zero reale.
(b) No. Per il criterio di Eisenstein $p$ deve essere primo, e $9$ non lo è.
(c) Ok.
(e) Mi sembra che se sostituisci $x$ con $x+1$ ottieni $x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 36x + 26$. A questo polinomio puoi applicare Eisenstein con $p=2$.
(d) Con le sostituzioni $x+-1$ al posto di $x$ non riesce. Si possono tentare ovviamente altre sostituzioni, oppure, se proprio non riesce nulla si possono provare una per una le soluzioni candidate: ${+-1; +-3; +-7; +-21}$
(b) No. Per il criterio di Eisenstein $p$ deve essere primo, e $9$ non lo è.
(c) Ok.
(e) Mi sembra che se sostituisci $x$ con $x+1$ ottieni $x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 36x + 26$. A questo polinomio puoi applicare Eisenstein con $p=2$.
(d) Con le sostituzioni $x+-1$ al posto di $x$ non riesce. Si possono tentare ovviamente altre sostituzioni, oppure, se proprio non riesce nulla si possono provare una per una le soluzioni candidate: ${+-1; +-3; +-7; +-21}$
"robbstark":Si parla di riducibilita' in [tex]\mathbb{Q}[X][/tex] pero'.
(a) Non è vero. Infatti qualsiasi polinomio di grado superiore al secondo ammette almeno uno zero reale.
Sì, ma non mi pare si possa dire che questo polinomio non sia riducibile in $QQ[x]$ perchè non ammette zeri. A meno che non ho frainteso, e olilau non intendesse dire di avere provato tutti i candidati razionali. Anzi forse intendeva proprio questo, visto che non ce ne sono molte da provare.
ah giusto!!Vi ringrazio entrambi!..i punti (c) ed (e) li ho capiti ma... avete qualche dritta da darmi per risolvere i punti (a) e (b)?..inoltre il punto (d) dovrei risolverlo per riduzione,però non socome procedere,che tipo di riduzione è più adatta?!!
Beh il polinomio in a) ha grado $3$, quindi se si scomponesse comparirebbe un fattore di grado $1$, pertanto della forma $x-alpha$ e dal teorema di ruffini sappiamo che quel polinomio divide il polinomio dato. Quindi l'assenza di radici razionali equivale a provare l'irriducibilità su $QQ[x]$ di quel polinomio.
ma come posso riuscire a scomporlo?...
Inoltre per il punto (b) avevo pensato di procedere così:
$x^3-9$ lo posso scomporre come $ (x-root(3)(9))(x^2+xroot(3)(9)+root(3)(9^2)) $..ma dato che $root(3)(9)$ non è un numero razionale sono così arrivata alla tesi. Può essere giusto come ragionamento?
Inoltre per il punto (b) avevo pensato di procedere così:
$x^3-9$ lo posso scomporre come $ (x-root(3)(9))(x^2+xroot(3)(9)+root(3)(9^2)) $..ma dato che $root(3)(9)$ non è un numero razionale sono così arrivata alla tesi. Può essere giusto come ragionamento?
Ma non devi scomporlo. In base a quel ragionamento ti basta far vedere che non ha radici razionali (idem per il polinomio in b))
per quanto riguarda (a) applichi il metodo di riduzione modulo 3 e viene subito... (ricorda che un polinomio è irriducibile in [tex]\mathbb{Q}[X][/tex] se e solo se lo è anche in [tex]\mathbb{Z}[X][/tex]) e per (b) il metodo è lo stesso, solo che usi la riduzione modulo 7...
Grazie infinite!così mi è riuscito!!....avrei un' altra domanda..come faccio a scegliere se applicare una riduzione modulo 2,piuttosto di una riduzione modulo 7,etc etc..? 
Beh modulo $2$ direi che non è molto utile 
Scherzi a parte credo che non esista un criterio, ma solo un po' di "fortuna" (occhio).
Scherzi a parte credo che non esista un criterio, ma solo un po' di "fortuna" (occhio).
Grazie infinite!!
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