Polinomi irriducibili e classi di resto
Se ci troviamo in $ Z_(7)[x] $ provo a scomporre il polinomio $ x^3+x+4 $ in prodotto di polinomi irriducibili trovandomi tramite ruffini:
$ (x-2)(x^2+2x+5) $
Ora i due polinomi dovrebbero essere irriducibili ma con quale criterio ? Conosco criteri solo per $ R[x] $ ma non per $ R_n[x] $ Grazie in anticipo
$ (x-2)(x^2+2x+5) $
Ora i due polinomi dovrebbero essere irriducibili ma con quale criterio ? Conosco criteri solo per $ R[x] $ ma non per $ R_n[x] $ Grazie in anticipo
Risposte
Siccome $\mathbb{Z}_7$ e' un campo (quindi un particolare un dominio di integrita'), vale la formula dei gradi su $\mathbb{Z}_7[x]$.
Da questo fatto prova a osservare che tutti i polinomi di grado $1$ su $\mathbb{Z}_7$ (o piu' in generale su un campo $\mathbb{F}$) sono irriducibili e che i polinomi di grado $2$ e $3$ sono irriducibili se e solo se non hanno radici.
Da questo fatto prova a osservare che tutti i polinomi di grado $1$ su $\mathbb{Z}_7$ (o piu' in generale su un campo $\mathbb{F}$) sono irriducibili e che i polinomi di grado $2$ e $3$ sono irriducibili se e solo se non hanno radici.
"Pappappero":
Siccome $\mathbb{Z}_7$ e' un campo (quindi un particolare un dominio di integrita'), vale la formula dei gradi su $\mathbb{Z}_7[x]$.
Da questo fatto prova a osservare che tutti i polinomi di grado $1$ su $\mathbb{Z}_7$ (o piu' in generale su un campo $\mathbb{F}$) sono irriducibili e che i polinomi di grado $2$ e $3$ sono irriducibili se e solo se non hanno radici.
Ok mi trovo con il tuo ragionamento ..ora come dimostro che il polinomio $ (x^2+2x+5) $$in\mathbb{Z}_7$ non ammette radici?
In $\mathbb{Z}_7$ hai solo $7$ elementi. Puoi provarli tutti e osservare che nessuno di loro e' una radice.
"Pappappero":
In $\mathbb{Z}_7$ hai solo $7$ elementi. Puoi provarli tutti e osservare che nessuno di loro e' una radice.
Grazie per le risposte .. Comunque il metodo di verifica diretta è l'unico? il teorema delle radici razionali non si può applicare vero?
Cos'e' il teorema delle radici razionali?
Se si tratta del Lemma di Gauss, di fatto e' quello che fai: cerchi le radici tra i divisori del termine noto. Ma siccome $\mathbb{Z}_7$ e' un campo, tutti gli elementi non nulli di $\mathbb{Z}_7$ sono divisori del termine noto.
Edit: googlato il Teorema delle radici razionali che di fatto e' una forma particolare del Lemma di Gauss. Immagino si applichi anche ad anelli abbastanza belli (UFD dovrebbe bastare) diversi all'anello degli interi, e quello che ho scritto sopra continua a valere.
Se si tratta del Lemma di Gauss, di fatto e' quello che fai: cerchi le radici tra i divisori del termine noto. Ma siccome $\mathbb{Z}_7$ e' un campo, tutti gli elementi non nulli di $\mathbb{Z}_7$ sono divisori del termine noto.
Edit: googlato il Teorema delle radici razionali che di fatto e' una forma particolare del Lemma di Gauss. Immagino si applichi anche ad anelli abbastanza belli (UFD dovrebbe bastare) diversi all'anello degli interi, e quello che ho scritto sopra continua a valere.
Si mi trovo 
..il teorema che intendevo è quello che si applica quando utilizzi il metodo ruffini per scomporre un polinomio..Cerchi le radici tra i divisori del termine noto/parametro direttore .Nel nostro caso cerchiamo i divisori di $ 5/1 $ che sono tutti gli elementi $inZ_7$ eccetto $0$
..il teorema che intendevo è quello che si applica quando utilizzi il metodo ruffini per scomporre un polinomio..Cerchi le radici tra i divisori del termine noto/parametro direttore .Nel nostro caso cerchiamo i divisori di $ 5/1 $ che sono tutti gli elementi $inZ_7$ eccetto $0$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo