Polinomi irriducibili di grado 6
Salve, ho un dubbio su un esercizio.
Mi sono bloccata nel dimostrare che $x^6-2$ sia irriducibile su $QQ$($\omega$). Con $\omega$ radice terza di 1.
Visto che non ha grado 2,3 non posso invertire Ruffini.
Qualcuno ha qualche idea?
Mi sono bloccata nel dimostrare che $x^6-2$ sia irriducibile su $QQ$($\omega$). Con $\omega$ radice terza di 1.
Visto che non ha grado 2,3 non posso invertire Ruffini.
Qualcuno ha qualche idea?
Risposte
Mi vengono in mente due modi: innanzitutto osserva che se $omega $ è una radice cubica di $1$, $-omega$ è una radice sesta, quindi $QQ (omega) $ contiene tutte le radici seste. A questo punto:
1) Se $p (x) $ è un polinomio monico a coefficienti in $QQ (omega) $ che divide $x^6-2$, il suo termine noto è il prodotto di alcune delle sue radici (a meno di un cambio di segno), cioè un numero esprimibile come $(root (6)(2))^n rho $, dove $n $ è il grado di $p $ e $rho$ è una radice sesta di $1$. Questo numero deve appartenere a $QQ (omega) $, ma poiché $rho in QQ (omega) $ è come chiedere $(root (6)(2))^n in QQ (omega) $, da cui $(root (6)(2))^n in RR nn QQ (omega)=QQ $: ciò è possibile solo se $n=0$ o $n=6$, che danno entrambi una fattorizzazione banale.
2) Il campo di spezzamento $K=QQ (omega, root (6)(2)) $ ha grado $12$ su $QQ $, quindi ha grado $6$ su $QQ (omega)$, e ha un gruppo di Galois $G$ di ordine $6$, i cui elementi sono automorfismi di $K $ che fissano le radici seste di $1$, e che quindi sono univocamente determinati dall'immagine di $root (6)(2) $: da $|G|=6$ segue che tale immagine può essere una qualsiasi delle sei radici, e questo implica che $x^6-2$ è irriducibile.
1) Se $p (x) $ è un polinomio monico a coefficienti in $QQ (omega) $ che divide $x^6-2$, il suo termine noto è il prodotto di alcune delle sue radici (a meno di un cambio di segno), cioè un numero esprimibile come $(root (6)(2))^n rho $, dove $n $ è il grado di $p $ e $rho$ è una radice sesta di $1$. Questo numero deve appartenere a $QQ (omega) $, ma poiché $rho in QQ (omega) $ è come chiedere $(root (6)(2))^n in QQ (omega) $, da cui $(root (6)(2))^n in RR nn QQ (omega)=QQ $: ciò è possibile solo se $n=0$ o $n=6$, che danno entrambi una fattorizzazione banale.
2) Il campo di spezzamento $K=QQ (omega, root (6)(2)) $ ha grado $12$ su $QQ $, quindi ha grado $6$ su $QQ (omega)$, e ha un gruppo di Galois $G$ di ordine $6$, i cui elementi sono automorfismi di $K $ che fissano le radici seste di $1$, e che quindi sono univocamente determinati dall'immagine di $root (6)(2) $: da $|G|=6$ segue che tale immagine può essere una qualsiasi delle sei radici, e questo implica che $x^6-2$ è irriducibile.
Grazie mille! Tutto chiaro! 
Dovrei cercare di spaziare di più con la mente!
Dovrei cercare di spaziare di più con la mente!
Se vuoi usare il fatto che $ZZ[\omega]$ e' un PID, puoi anche osservare che $X^6-2$
e' un polinomio di Eisenstein rispetto all'elemento primo $2$ di $ZZ[\omega]$.
(L'anello $ZZ[\omega]//(2)$ e' un campo di $4$ elementi.)
e' un polinomio di Eisenstein rispetto all'elemento primo $2$ di $ZZ[\omega]$.
(L'anello $ZZ[\omega]//(2)$ e' un campo di $4$ elementi.)
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