Polinomi irriducibili
Un polinomio $f in F[x]\{0}$ si dice irriducibile se:
i) $delta(f) > 0$ (cioè il grado di f è maggiore di 0);
ii) $f=hk => delta(h)=0, delta(k)=delta(f)$ oppure $delta(k)=0, delta(h)=delta(f)$;
La proprietà i) equivale a richiedere che f non sia invertibile ( in quanto gli unici elementi invertibili in F[x], sono gli elementi invertibili in F, cioè le costanti non nulle ).
Riguardo alla ii) dice:
Può essere espressa equivalentemente richiedendo che f non possa scriversi come prodotto di polinomi entrambi di grado strettamente minore a quello di f, o ancora che gli unici divisori di f siano quelli impropri. Ne segue più evidente l'analogia tra i polinomi irriducibili di $F[x]$ e i numeri primi in $Z$: questi ultimi sono elementi di p non nulli non invertibili(ovvero, diversi da +1 e da -1) i cui unici divisori siano +1 e -1(gli elementi invertibili), p e -p.
p e -p possono vedersi come gli associati di p, essendo della forma $ap$, con a elementi invertibile di Z. Alla luce di quanto evidenziato , il teorema che segue, può leggersi come analogo del Teorema fondamentale dell'Aritmetica.
Teorema (Fattorizzazione unica nell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo)
Siano $F$ un campo , $f$ un polinomio non nullo e non invertibile di $F[x]$. Allora f o è irriducibile o è prodotto di fattori irriducibili. Tale fattorizzazione è essenzialmente unica, nel senso che, se $f=p_1p_2...p_r=q_1q_2...q_s$(dove $p1,...,p_r,q_1,...,q_s$ sono polinomi irriducibili) allora r=s e si possono riordinare i fattori in modo che sia $p_i$ associato a $q_i, AA i=1...r$.
Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee riguardo al ii punto?
i) $delta(f) > 0$ (cioè il grado di f è maggiore di 0);
ii) $f=hk => delta(h)=0, delta(k)=delta(f)$ oppure $delta(k)=0, delta(h)=delta(f)$;
La proprietà i) equivale a richiedere che f non sia invertibile ( in quanto gli unici elementi invertibili in F[x], sono gli elementi invertibili in F, cioè le costanti non nulle ).
Riguardo alla ii) dice:
Può essere espressa equivalentemente richiedendo che f non possa scriversi come prodotto di polinomi entrambi di grado strettamente minore a quello di f, o ancora che gli unici divisori di f siano quelli impropri. Ne segue più evidente l'analogia tra i polinomi irriducibili di $F[x]$ e i numeri primi in $Z$: questi ultimi sono elementi di p non nulli non invertibili(ovvero, diversi da +1 e da -1) i cui unici divisori siano +1 e -1(gli elementi invertibili), p e -p.
p e -p possono vedersi come gli associati di p, essendo della forma $ap$, con a elementi invertibile di Z. Alla luce di quanto evidenziato , il teorema che segue, può leggersi come analogo del Teorema fondamentale dell'Aritmetica.
Teorema (Fattorizzazione unica nell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo)
Siano $F$ un campo , $f$ un polinomio non nullo e non invertibile di $F[x]$. Allora f o è irriducibile o è prodotto di fattori irriducibili. Tale fattorizzazione è essenzialmente unica, nel senso che, se $f=p_1p_2...p_r=q_1q_2...q_s$(dove $p1,...,p_r,q_1,...,q_s$ sono polinomi irriducibili) allora r=s e si possono riordinare i fattori in modo che sia $p_i$ associato a $q_i, AA i=1...r$.
Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee riguardo al ii punto?
Risposte
Quale ii punto?
Da quanto scrivi, mi pare sia tutto chiaro.
Da quanto scrivi, mi pare sia tutto chiaro.
Teorema (Fattorizzazione unica nell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo)
Soprattutto questo
Soprattutto questo
Potresti chiarire nel dettaglio quali sono i tuoi dubbi, per cortesia?
Se hai presente la fattorizzazione negli interi, non dovresti avere problemi. Insomma, proprio come un numero intero si può scrivere in maniera essenzialmente unica come prodotto di primi, anche un polinomio si può scrivere come prodotto di polinomi irriducibili, anche qui in maniera essenzialmente unica (a meno dell'ordine dei fattori e a meno di fattori associati, in poche parole).
Se hai presente la fattorizzazione negli interi, non dovresti avere problemi. Insomma, proprio come un numero intero si può scrivere in maniera essenzialmente unica come prodotto di primi, anche un polinomio si può scrivere come prodotto di polinomi irriducibili, anche qui in maniera essenzialmente unica (a meno dell'ordine dei fattori e a meno di fattori associati, in poche parole).
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