Polinomi irriducibili

[sofiza1]

ciao a tutti! Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio:

In $QQ[x]$ si considerino i polinomi $f(x)=x^4-1$ e $g(x)=x^3+x^2-x-1$. Si determinini
a)le scomposizioni di f e g in polinimo irriducibili
b)un elemento generatore per l'ideale $(f,g)$
c)un elemeno generatore per l'ideale $(f) nn (g)$

punto a): $f(x)=x^4-1=(x^2-1)*(x^2+1)=(x-1)*(x+1)*(x^2+1)$
$g(x)=x^3+x^2-x-1=x^2*(x+1)-(x+1)=(x-1)*(x+1)*(x+1)$
è giusto??

per quanto riguarda il punto b (e di conseguenza il c) non so proprio come trovare questo elemento generatore!
grazie in anticipo!!

[Lorin1]

Va bene i primi due punti. Per quanto riguarda il punto b), ti sta chiedendo di trovare l'ideale generato da f e da g, questo è possibile perchè $QQ$ essendo un campo allora $QQ[x]$ è un anello principale e quindi ogni ideale è generato da un unico elemento. Per trovarlo basta trovare il massimo comun divisore tra f e g.

[sofiza1]

intanto grazie..! Quindi se ho capito bene un elemento generatore per ll'ideale $(f,g)$ è $(x-1)⋅(x+1)$..giusto?
al punto c) invece? non riesco a capire bene cosa chiede..

[sofiza1]

..riguardando la teoria ho capito che l'elemento generatore per l'ideale $(f)∩(g) $ è l'mcm tra $f$ e $g$, cioè $(x-1)*(x+1)^2*(x^2+1)$..giusto?

[Lorin1]

si scusa se rispondo solo ora ma solo la sera posso collegarmi. Comunque si dovrebbe essere proprio il massimo comun divisore.

[sofiza1]

figurati..grazie invece..! e il punto c)? è giusto fare l'mcm?

[Lorin1]

Si si...

[sofiza1]

ok..grazie mille!!