Polinomi irriducibili

[faby99s]

Buongiorno sapete dirmi un metodo per scomporre un polinomio irriducibile in $Z_n[x]$?

Grazie

[solaàl]

Innanzitutto \(\mathbb Z_n[X]\) non è un campo.

Poi, dipende (da $n$, dal grado del polinomio, dal battito d'ali di una farfalla...).

[faby99s]

"solaàl":Innanzitutto \(\mathbb Z_n[X]\) non è un campo.

Poi, dipende (da $n$, dal grado del polinomio, dal battito d'ali di una farfalla...).

Ad esempio se ho questo polinomio:
$x^3-x^2+[2]_3x+[1]_3 \in Z_3[X]$

Questo è irriducibile, per scomporlo dovrò usare due polinomi uno di grado 2 e uno di grado 1. Ma come faccio a scomporlo in modo corretto?

[solaàl]

Se è irriducibile, perché scomporlo? Poi, su un anello/campo finito, per controllare che esista una radice per $p(X)$, devi fare un numero finito di controlli: quanto fanno \(p(0), p(1), p(2)\) se \(p(X)=X^3-X^2+2+1\) (che, per inciso, è uguale a \(X^3-X^2\))?

[faby99s]

"solaàl":Se è irriducibile, perché scomporlo? Poi, su un anello/campo finito, per controllare che esista una radice per $p(X)$, devi fare un numero finito di controlli: quanto fanno \(p(0), p(1), p(2)\) se \(p(X)=X^3-X^2+2+1\) (che, per inciso, è uguale a \(X^3-X^2\))?

Allora:

$f(0)$ $ != $ $0$

$f(2)$ $ != $ $0$

mentre:

$f(1)$ $ = $ $0$

si in realtà se è irriducibili non ha senso scomporlo però se voglio il polinomio di partenza come polinomio monico irriducibile come faccio a scomporlo?

[solaàl]

Le monache sono le foche, o le suore; i polinomi il cui coefficiente di grado massimo è 1 si chiamano monici. Poi, come fa \(p(0)\) a non fare zero?

[faby99s]

"solaàl":Le monache sono le foche, o le suore; i polinomi il cui coefficiente di grado massimo è 1 si chiamano monici. Poi, come fa \(p(0)\) a non fare zero?

Si scusa nell'equazione manca un termine, la corretta è:

$x^3-x^2+[2]_3x+[1]_3 \in Z_3[X]$
ed se sostituisco

$f(0)$ $!=$ $0$