Polinomi in $ZZ_p$
Ciao a tutti,
Sto svolgendo alcuni esercizi sui polinomi nel campo $ZZ_p$ dove p ovviamente è primo, siccome non ho la risoluzione o esempi di esercizi svolti simili con i quali confrontare, vorrei chiedere se qualcuno di voi può darmi una mano e dire eventualmente come risolverebbe lui lo stesso problema.
i) Sia $phi(x)=x^3+ax+1$ determinare i valori di $ainZZ_5$ per i quali $phi$$in$$ZZ_5$ ammette radice doppia.
ii)Sia $phi(x)=x^3+2x+1$ , trovare quali p (primi) $phi(x)$$in$$ZZ_p$ ammette una radice almeno doppia.
Per il primo ho trovato a=3 ragionando così:
ho calcolato $phi'(x)$ e siccome per avre una radice doppia deve esistere $d(x)=M.C.D.(phi,phi')$ con $d(x)$ polinomio di primo grado.
Quindi dovrà $EE$$\barx$$inZZ_5$ t.c $phi(\barx)=0=phi'(\barx)$
$\barx=$ i=0,1,2,3,4
caso i=0 niente;
caso i=1
deve $EE$$ainZZ_5$ t.c. sia $3+a$ che $2+a$ devono essere multipli di 5, impossibile.
provando caso per caso si trova che l'unico è il caso i=2 con a=3.
Per il secondo ci sto lavorando, però usando un idea simile mi stò incasinando..
Sto svolgendo alcuni esercizi sui polinomi nel campo $ZZ_p$ dove p ovviamente è primo, siccome non ho la risoluzione o esempi di esercizi svolti simili con i quali confrontare, vorrei chiedere se qualcuno di voi può darmi una mano e dire eventualmente come risolverebbe lui lo stesso problema.
i) Sia $phi(x)=x^3+ax+1$ determinare i valori di $ainZZ_5$ per i quali $phi$$in$$ZZ_5$ ammette radice doppia.
ii)Sia $phi(x)=x^3+2x+1$ , trovare quali p (primi) $phi(x)$$in$$ZZ_p$ ammette una radice almeno doppia.
Per il primo ho trovato a=3 ragionando così:
ho calcolato $phi'(x)$ e siccome per avre una radice doppia deve esistere $d(x)=M.C.D.(phi,phi')$ con $d(x)$ polinomio di primo grado.
Quindi dovrà $EE$$\barx$$inZZ_5$ t.c $phi(\barx)=0=phi'(\barx)$
$\barx=$ i=0,1,2,3,4
caso i=0 niente;
caso i=1
deve $EE$$ainZZ_5$ t.c. sia $3+a$ che $2+a$ devono essere multipli di 5, impossibile.
provando caso per caso si trova che l'unico è il caso i=2 con a=3.
Per il secondo ci sto lavorando, però usando un idea simile mi stò incasinando..
Risposte
forse ho trovato qualcosa non è una soluzione molto bella ma meglio di niente!
consideriamo il caso $p!=2,3$
$y$ è radice doppia se e solo se $y^3+2*y+1=0$ e $3y^2+2=0$
quindi $3y^2=-2$ e per l'ipotesi aggiuntiva posso moltiplicare per 3 la prima equazione $3y^3+6y+3=3y^2*y+6y+3=-2y+6y+3=4y+3=0$
so che $4y=-3$ sempre per l'ipotesi aggiuntiva posso moltiplicare per 16 la seconda equazione $3*(4y)^2+32=27+32=59=0$
quindi condizione necessaria affinchè $y$ è radice doppia in $ZZ_p$ è che $59\equiv0(mod p)$ siccome $59$ è primo l'unica soluzione è $p=59$
si deve anche controllare che la condizione sia sufficente, ho scritto un programmino in C che mi dice che il polinomio ha due sole radici mod59 x=14,x=31 e siccome è di terzo grado una deve essere doppia
i casi $p=2,3$ si possono controllare a mano.
che dici?
consideriamo il caso $p!=2,3$
$y$ è radice doppia se e solo se $y^3+2*y+1=0$ e $3y^2+2=0$
quindi $3y^2=-2$ e per l'ipotesi aggiuntiva posso moltiplicare per 3 la prima equazione $3y^3+6y+3=3y^2*y+6y+3=-2y+6y+3=4y+3=0$
so che $4y=-3$ sempre per l'ipotesi aggiuntiva posso moltiplicare per 16 la seconda equazione $3*(4y)^2+32=27+32=59=0$
quindi condizione necessaria affinchè $y$ è radice doppia in $ZZ_p$ è che $59\equiv0(mod p)$ siccome $59$ è primo l'unica soluzione è $p=59$
si deve anche controllare che la condizione sia sufficente, ho scritto un programmino in C che mi dice che il polinomio ha due sole radici mod59 x=14,x=31 e siccome è di terzo grado una deve essere doppia
i casi $p=2,3$ si possono controllare a mano.
che dici?
Ciao rubik,
ti ringrazio della risposta, l'idea è la stessa ma io mi ero bloccato perchè devo prendere ancora un pò di confidenza con i campi $ZZ_p$, comunque dovrebbe andare bene.
Come dici te non è elegantissima ma al momento non trovo di meglio, aspettiamo un pò magari arriva qualcuno con un altra dimostrazione..
ciao
ti ringrazio della risposta, l'idea è la stessa ma io mi ero bloccato perchè devo prendere ancora un pò di confidenza con i campi $ZZ_p$, comunque dovrebbe andare bene.
Come dici te non è elegantissima ma al momento non trovo di meglio, aspettiamo un pò magari arriva qualcuno con un altra dimostrazione..
ciao
A mio avviso la dimostrazione di Rubik è ottima e non migliorabile.
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