Polinomi in Z7[x]

[Sab0011]

Salve, ho questo problema: avendo un polinomio del tipo x*2+x+1 in Z7[x], quali sono i suoi polinomi associati?
Inoltre quanti sono i polinomi di secondo grado in Z7[x]?

[feddy]

Ciao, premetto che sto affrontato questi argomenti da appena un mese, tuttavia per polinomi associati intendi come sono fatti i rappresentanti del quoziente \( \mathbb{Z7}/(x^2+x+1) \) ?

[Sab0011]

"feddy":Ciao, premetto che sto affrontato questi argomenti da appena un mese, tuttavia per polinomi associati intendi come sono fatti i rappresentanti del quoziente \( \mathbb{Z7}/(x^2+x+1) \) ?

Ciao feddy. No, stando alla definizione , dato un polinomio f di Z7,si dice polinomio associato ad f ogni polinomio della forma a*f dove a è un elemento invertibile di Z7. Adesso io mi chiedo , dato che gli elementi invertibili di Z7 sono i seguenti : [1],[2],[3],[4],[5],[6] ; come sono fatti i polinomi associati di x^2+x+1? Per parlare di quoziente dobbiamo avere una relazione di equivalenza definita in Z7 e in questo caso non l'abbiamo.

[feddy]

Perdonami, avevo frainteso !

Dalla tua definizione, i polinomi associati sono tutti quei polinomi ottenti da $f$ moltiplicandoli per un elemento invertibile di $ZZ7$. E, visto che $ZZ7$ è campo, poichè $7$ è primo, allora, gli elementi invertibili come hai detto tu sono proprio \( {\overline{0}, \overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6} } \) .

Ossia esiste una costante non nulla $a$ tale che $f(x)=a \cdotg(x)$.

Quindi, per esempio, $x^2+x+1$ e $5x^2+5x+5$ sono associati...

[Sab0011]

"feddy":Perdonami, avevo frainteso !

Dalla tua definizione, i polinomi associati sono tutti quei polinomi ottenti da $f$ moltiplicandoli per un elemento invertibile di $ZZ7$. E, visto che $ZZ7$ è campo, poichè $7$ è primo, allora, gli elementi invertibili come hai detto tu sono proprio \( {\overline{0}, \overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6} } \) .

Ossia esiste una costante non nulla $a$ tale che $f(x)=a \cdotg(x)$.

Quindi, per esempio, $x^2+x+1$ e $5x^2+5x+5$ sono associati...

Mi sembra corretto però credo che la classe zero non sia invertibile(perchè 0 non è coprimo con nessun numero).. o sbaglio? Nel caso avessi ragione potremmo dire che in ogni campo Zn gli elementi invertibili sono |Zn|-1? Sono solo riflessioni che possono aiutare negli esercizi poi non so quanto siano corrette

[feddy]

Dalla teoria si ha che gli elementi invertibili in $Z/{nZ} ={overline(r) | 0

[Sab0011]

"feddy":Dalla teoria si ha che gli elementi invertibili in $Z/nZ ={overline(r) | 0

Figurati Grazie per il tuo aiuto

[feddy]

Di nulla !