Polinomi in piu' variabili su campo algebricamente chiuso
Salve a tutti, espongo il mio dubbio.
Sia $K$ un campo algebricamente chiuso di cardinalita' infinita. Ogni polinomio $f\in K[x]$ ha almeno una radice in $K$. Se $g\in K[x_1,x_2,\ldots, x_n]$ e' un polinomio in piu' variabili allora e' vero che $g$ contiene infinite soluzioni in $K^n$? A me era venuto in mente di ragionare cosi':
Per ogni $(\alpha_2,\ldots,\alpha_n)\in K^{n-1}$ il polinomio $g(x,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ in una variabile ha una soluzione $\alpha_1$ in $K$ dunque $g(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=0$ ovvero abbiamo trovato uno zero. Data l'arbitrarieta' della scelta degli $\alpha_i$ segue che ci sono infinite soluzioni.
E' giusto? oppure nella definizione di campo algebricamente chiuso e' gia' compreso il fatto che un polinomio in piu' variabili abbia almeno uno zero?
Sia $K$ un campo algebricamente chiuso di cardinalita' infinita. Ogni polinomio $f\in K[x]$ ha almeno una radice in $K$. Se $g\in K[x_1,x_2,\ldots, x_n]$ e' un polinomio in piu' variabili allora e' vero che $g$ contiene infinite soluzioni in $K^n$? A me era venuto in mente di ragionare cosi':
Per ogni $(\alpha_2,\ldots,\alpha_n)\in K^{n-1}$ il polinomio $g(x,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ in una variabile ha una soluzione $\alpha_1$ in $K$ dunque $g(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=0$ ovvero abbiamo trovato uno zero. Data l'arbitrarieta' della scelta degli $\alpha_i$ segue che ci sono infinite soluzioni.
E' giusto? oppure nella definizione di campo algebricamente chiuso e' gia' compreso il fatto che un polinomio in piu' variabili abbia almeno uno zero?
Risposte
"Galoisfan":
E' giusto? oppure nella definizione di campo algebricamente chiuso e' gia' compreso il fatto che un polinomio in piu' variabili abbia almeno uno zero?
Secondo me va bene. La definizione di campo algebricamente chiuso nulla dice direttamente sui polinomi di più variabili.
PS: Naturalmente c'è da fare attenzione al grado... I polinomi di grado \(0\) vanno esclusi dal discorso. Penso che occorra raffinare un po' il tuo ragionamento per evitare problemi dovuti a questa sottigliezza.
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