Polinomi: Fattorizazione MCD, e bezout

[Neptune2]

Salve a tutti,
avrei qualche dubbio sui polinomi, ovvero:

Nella traccia tipo mi si dice di fattorizzare due polinomi e di trovare l'mcd, nonchè alle volte mi si chiede anche di trovare l'identità di bezout.

Ora, da quello che so, lavorando qusi sempre in $Z_n$ cerco le radici sostituendo successivamente, al posto dell'incognita, le varie classi di resto. Quello che mi annula il polinomio allora è una radice. Quindi procedo con ruffini fino ad avere polinomi di primo grado.
Per l'mcd, se li ho ridotti in fattori basta che prendo i fattori comuni oppure posso operare con le divisioni successive.

Quello che mi sfugge, ovvero che mi è stato appena accennato ma non ho capito è: nel caso di polinomi senza radici, come facciamo a fattorizzarli?
Sicuramente non possiamo utilizzare ruffini. Quindi come si può operare in tali casi?

Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.

[aleio1]

Purtroppo non c'è una regola standard. Ci sono algoritmi, criteri, teoremi che funzionano in alcuni ambienti di calcolo e non funzionano in altri. Essendo vastissima la trattazione di un argomento del genere e sapendone io decisamente poco ti rimando alla risposta di qualcun altro.

[Andrea902]

Dunque, la riducibilità di un polinomio non sempre dipende dall'esistenza delle radici. Quindi se ad esempio hai un polinomio di quarto grado da fattorizzare, ma non trovi radici, l'unico modo per fattorizzarlo è quello di ricercare due fattori entrambi di secondo grado... (Nota che non potrai avere mai fattori di primo grado dal momento che il polinomio non ha radici).
Se lavori in $QQ$ puoi sempre ricondurti ad un polinomio monico e questo può esserti d'aiuto al momento dei calcoli. Questa è una risposta del tutto generale e provvisoria. Con degli esempi ti renderai facilmente conto di quanto scritto.