Polinomi e prodotto di fattori irriducibili
Ho il seguente polinomio $f(x)=x^3+x+2 in F[x]$ devo decomporlo in prodotto di fattori irriducibili nei seguenti casi:
1) $F=R$
2) $F=Z_2$
3) $F=Z_3$
4) $F=Z_7$
Nel primo caso mi trovo che -1 è radice del polinomio quindi $x^3+x+2 : x+1$ è uguale a:
$(x^2-x+2)(x+1)=f(x)$ In $R$ un polinomio è irriducibile se e solo se il grado del polinomio è 1 oppure se è di grado 2 con delta < 0, in questo caso $(x+1)$ è di grado 1, mentre $(x^2-x+2)$ è di grado 2 con delta negativo.
Nel secondo caso invece $Z_2$ ho considerato il polinomio in questo modo:
$f(x)=[1]x^3+[1]x+[2] => x^3+x =>$ una radice è $[1]$ poichè $[1]+[1]=[2]=[0]$ applicando ruffini ,
mi trovo in una situazione dove ho $x^2+2x$ in questo caso $[2]x=[0]$ ma non riesco a capire come continuare.
1) $F=R$
2) $F=Z_2$
3) $F=Z_3$
4) $F=Z_7$
Nel primo caso mi trovo che -1 è radice del polinomio quindi $x^3+x+2 : x+1$ è uguale a:
$(x^2-x+2)(x+1)=f(x)$ In $R$ un polinomio è irriducibile se e solo se il grado del polinomio è 1 oppure se è di grado 2 con delta < 0, in questo caso $(x+1)$ è di grado 1, mentre $(x^2-x+2)$ è di grado 2 con delta negativo.
Nel secondo caso invece $Z_2$ ho considerato il polinomio in questo modo:
$f(x)=[1]x^3+[1]x+[2] => x^3+x =>$ una radice è $[1]$ poichè $[1]+[1]=[2]=[0]$ applicando ruffini ,
mi trovo in una situazione dove ho $x^2+2x$ in questo caso $[2]x=[0]$ ma non riesco a capire come continuare.
Risposte
non ho capito! Una volta che hai $x^3+x$ (e fino a qua e' giusto), basta raccogliere: $x(x^2+1)$. Ora $x^2+1=(x+1)^2$ (in $\mathbb Z_2$ e quindi la riduzione richiesta e' $x(x+1)^2$.
Io qui avevo ragionato così:
poichè siamo in $Z_2$, avevo ridotto il polinomio iniziale $f(x)$ in $x^3+x$ (poichè $[2]$ in $Z_2$ è uguale a 0).
Dopodichè, ho trovato una radice che annulla il polinomio, sapendo che $[1]$ è radice del polinomio, avevo applicato in questo modo ruffini: $x^3+x : x-1$ dopodichè avrei calcolato $f(x)=q(x)(x-1) + r(x)$ riducendo così il polinomio in prodotti di fattori irriducibili.
p.s
Ad esempio in $F=R$, sappiamo che un polinomio è irriducibile se, e solo se, o ha grado=1 oppure ha grado=2 ma delta negativo(< 0). Invece, cosa possiamo dire per $F=Z_n$ ???
poichè siamo in $Z_2$, avevo ridotto il polinomio iniziale $f(x)$ in $x^3+x$ (poichè $[2]$ in $Z_2$ è uguale a 0).
Dopodichè, ho trovato una radice che annulla il polinomio, sapendo che $[1]$ è radice del polinomio, avevo applicato in questo modo ruffini: $x^3+x : x-1$ dopodichè avrei calcolato $f(x)=q(x)(x-1) + r(x)$ riducendo così il polinomio in prodotti di fattori irriducibili.
p.s
Ad esempio in $F=R$, sappiamo che un polinomio è irriducibile se, e solo se, o ha grado=1 oppure ha grado=2 ma delta negativo(< 0). Invece, cosa possiamo dire per $F=Z_n$ ???
non sto dicendo che il tuo procedimento e' sbagliato, ma solo che e' dannatamente lungo. Se hai $x^3+x$ la prima cosa che ti deve venire in mente e' raccogliere $x$.
Non esistono condizioni necessarie e sufficienti generali per l'irriducibilita'.
Non esistono condizioni necessarie e sufficienti generali per l'irriducibilita'.
Ok, raccogliendo la x ottenevo: $x(x^2+1)$ che è un prodotto tra polinomi. Questo è il mio polinomio iniziale espresso come prodotto di fattori irriducibili??? come faccio a capire che sono irriducibili in $Z_n$???
Questo intendevo prima.
Questo intendevo prima.
no, come ho scritto sopra, in $\mathbb Z_2$ si ha la fattorizzazione $(x^2+1)=(x+1)^2$, che sostituita la' ti da' la fattorizzazione in irriducibili.
Ripeto che, per quanto ne so, non esiste nessun teorema generale di irriducibilta' in $\mathbb Z_n$. Questo significa che ogni esercizio ha la sua storia: riduci, cerchi gli zeri, dividi, ti inventi qualche cosa...
Ripeto che, per quanto ne so, non esiste nessun teorema generale di irriducibilta' in $\mathbb Z_n$. Questo significa che ogni esercizio ha la sua storia: riduci, cerchi gli zeri, dividi, ti inventi qualche cosa...
quindi in definitiva, $x(x+1)^2$ è la mia fattorizzazione in irriducibili?
solo in $\mathbb Z_2$.. per gli altri e' diversa (ps. il passaggio $(x^2+1)=(x+1)^2$ e' valido solo in $\mathbb Z_2$
già! grazie mille
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