Polinomi e funzioni polinomiali
Vi chiedo cortesemente se sto intendendo le cose nel modo corretto, o meno.
Sia $R$ un anello. Dato un polinomio $p$ come $|NN|$-upla $(a_i)_{i \in NN} \in R^{NN}$ identicamente nulla "da un certo punto in poi", posso considerare la funzione polinomiale
$$p(x)=\sum_{i=0}^{deg(p)}a_ix^i \tag 1$$
a valori:
a) in $R$ stesso: in tal caso, la scrittura $(1)$ ha senso in virtù di "$+$" e "$\times$" di $R$, intendendo con $x$ un arbitrario elemento di $R$;
b) in un sovra-anello $\mathcal{R} \supseteq R$: in tal caso, la scrittura $(1)$ ha senso in virtù di "$+$" e "$\times$" di $\mathcal{R}$, intendendo con $x$ un arbitrario elemento di $\mathcal{R}$;
c) in un altro anello $\mathcal{A}$, "senza rapporti" con $R$: in tal caso, la scrittura $(1)$ ha senso solo se è definita anche una moltiplicazione "esterna" $\times : R\times \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{A}$, intendendo con $x$ un arbitrario elemento di $\mathcal{A}$.
In tutti i casi, la somma può arrestarsi al $deg(p)$-esimo termine perchè, in un anello, $0x=0$ per ogni $x$ dell'anello ($R$, $\mathcal{R}$ e $\mathcal{A}$, rispettivamente).
Sia $R$ un anello. Dato un polinomio $p$ come $|NN|$-upla $(a_i)_{i \in NN} \in R^{NN}$ identicamente nulla "da un certo punto in poi", posso considerare la funzione polinomiale
$$p(x)=\sum_{i=0}^{deg(p)}a_ix^i \tag 1$$
a valori:
a) in $R$ stesso: in tal caso, la scrittura $(1)$ ha senso in virtù di "$+$" e "$\times$" di $R$, intendendo con $x$ un arbitrario elemento di $R$;
b) in un sovra-anello $\mathcal{R} \supseteq R$: in tal caso, la scrittura $(1)$ ha senso in virtù di "$+$" e "$\times$" di $\mathcal{R}$, intendendo con $x$ un arbitrario elemento di $\mathcal{R}$;
c) in un altro anello $\mathcal{A}$, "senza rapporti" con $R$: in tal caso, la scrittura $(1)$ ha senso solo se è definita anche una moltiplicazione "esterna" $\times : R\times \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{A}$, intendendo con $x$ un arbitrario elemento di $\mathcal{A}$.
In tutti i casi, la somma può arrestarsi al $deg(p)$-esimo termine perchè, in un anello, $0x=0$ per ogni $x$ dell'anello ($R$, $\mathcal{R}$ e $\mathcal{A}$, rispettivamente).
Risposte
Puoi "interpretare" una funzione polinomiale a valori in ogni $R$-algebra $A$, in virtù della proprietà universale dell'anello dei polinomi \(R[X]\): per ogni $R$-algebra $A$, gli omomorfismi $R$-lineari di anelli \(R[X]\to A\) corrispondono all'insieme degli elementi di $A$; questo perché
1. Un omomorfismo di anelli \(f : R[X]\to A\) è univocamente determinato dall'immagine di $X$, perché deve essere
\[
f(p(X)) = \sum a_i f(X)^i
\] 2. Un elemento di $A$ identifica un (unico, per il punto precedente) omomorfismo di anelli che manda $X$ in $a$.
1. Un omomorfismo di anelli \(f : R[X]\to A\) è univocamente determinato dall'immagine di $X$, perché deve essere
\[
f(p(X)) = \sum a_i f(X)^i
\] 2. Un elemento di $A$ identifica un (unico, per il punto precedente) omomorfismo di anelli che manda $X$ in $a$.
Come si colloca in tutto ciò il prodotto di Cauchy? Mi aspetto che sia l'unico prodotto tra polinomi per cui tutto ciò che hai scritto "funziona davvero". E' così? (Se fosse solo per dare a $R[X]$ una struttura di anello basterebbe il "prodotto diretto", ovvero componente per componente.)
Il prodotto di Cauchy è analogo a un prodotto di convoluzione; il prodotto di Hadamard (ossia il prodotto
\[
(a_n)(b_n) = (a_nb_n)
\] che si pone sul prodotto \(R^{\mathbb N}\) invece è il prodotto su un anello di funzioni.
Il primo ha la proprietà universale che rende \(R[X]\) la \(R\)-algebra libera su un generatore; in particolare, il prodotto di Cauchy è \(R\)-bilineare. Il prodotto di Hadamard non lo è, ed è l'operazione che rende \(R^{\mathbb N}\) l'anello prodotto. Questi due oggetti hanno proprietà universali diverse.
\[
(a_n)(b_n) = (a_nb_n)
\] che si pone sul prodotto \(R^{\mathbb N}\) invece è il prodotto su un anello di funzioni.
Il primo ha la proprietà universale che rende \(R[X]\) la \(R\)-algebra libera su un generatore; in particolare, il prodotto di Cauchy è \(R\)-bilineare. Il prodotto di Hadamard non lo è, ed è l'operazione che rende \(R^{\mathbb N}\) l'anello prodotto. Questi due oggetti hanno proprietà universali diverse.
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