Polinomi di grado 3 e Teoria di Galois
Questo è un dubbio legato a un esercizio (poi risolto per altre vie) che mi porta a una domanda più generale... come posso trattare i polinomi di grado 3 in Teoria di Galois?
Se io ho un polinomio irriducibile della forma $P(x) = x^3 +\alphax^2 +\betax +\gamma$, a meno di traslare posso sempre ricondurmi a un polinomio della forma $P(x) = x^3 +ax +b$ il cui gruppo di Galois, chiaramente a meno di isomorfismi, dovrebbe essere uguale a quello del polinomio precedente.
Quindi posso studiarmi il gruppo di Galois del polinomio irriducibile $P(x) = x^3 +ax +b$ al variare di $(a, b) \in RR^2$. Ora i miei pensieri:
1) Se $a \geq 0$, ho che $P'(x) = 3x^2 +a \geq 0$ ovvero la funzione è strettamente crescente, il che implica che il polinomio ha una sola radice reale e dovrebbe seguire facilmente che il gruppo di Galois è isomorfo a $S_3$.
2) Se $a < 0$ mi inizia qualche dubbio... se chiamo $\alpha, \beta, \gamma$ le radici (che io non conosco) del polinomio ho che $QQ(\alpha, \beta, \gamma) = QQ(\alpha, \beta)$; sia quindi $\alpha$ una radice reale, il tutto si riconduce a studiare quando $\beta \in QQ(\alpha)$... a questo punto, c'è qualche metodo per dirlo? Considerando che io ovviamente non so come siano fatte nè $\alpha$ nè $\beta$...
Se io ho un polinomio irriducibile della forma $P(x) = x^3 +\alphax^2 +\betax +\gamma$, a meno di traslare posso sempre ricondurmi a un polinomio della forma $P(x) = x^3 +ax +b$ il cui gruppo di Galois, chiaramente a meno di isomorfismi, dovrebbe essere uguale a quello del polinomio precedente.
Quindi posso studiarmi il gruppo di Galois del polinomio irriducibile $P(x) = x^3 +ax +b$ al variare di $(a, b) \in RR^2$. Ora i miei pensieri:
1) Se $a \geq 0$, ho che $P'(x) = 3x^2 +a \geq 0$ ovvero la funzione è strettamente crescente, il che implica che il polinomio ha una sola radice reale e dovrebbe seguire facilmente che il gruppo di Galois è isomorfo a $S_3$.
2) Se $a < 0$ mi inizia qualche dubbio... se chiamo $\alpha, \beta, \gamma$ le radici (che io non conosco) del polinomio ho che $QQ(\alpha, \beta, \gamma) = QQ(\alpha, \beta)$; sia quindi $\alpha$ una radice reale, il tutto si riconduce a studiare quando $\beta \in QQ(\alpha)$... a questo punto, c'è qualche metodo per dirlo? Considerando che io ovviamente non so come siano fatte nè $\alpha$ nè $\beta$...
Risposte
Ecco a cosa serve scrivermi un pdf 
Siamo su $QQ$, immagino.
Il discriminante di $f(x)=x^3+px+q$ risulta essere $D=-4p^3-27q^2$. E' un oggetto che si annulla se e solo se $f(x)$ ammette uno zero multiplo.
Si ha che il gruppo di Galois di un tale $f(x)$ irriducibile è $A_3$ se $D$ è un quadrato in $QQ$, altrimenti è $S_3$.
Per una dimostrazione vedi qui, 21.2.1 pagina 105. Sopra trovi anche un po' di teoria generale. E sotto viene fatto anche il grado 4.
Siamo su $QQ$, immagino.
Il discriminante di $f(x)=x^3+px+q$ risulta essere $D=-4p^3-27q^2$. E' un oggetto che si annulla se e solo se $f(x)$ ammette uno zero multiplo.
Si ha che il gruppo di Galois di un tale $f(x)$ irriducibile è $A_3$ se $D$ è un quadrato in $QQ$, altrimenti è $S_3$.
Per una dimostrazione vedi qui, 21.2.1 pagina 105. Sopra trovi anche un po' di teoria generale. E sotto viene fatto anche il grado 4.
Grazie mille 
... c'è decisamente più teoria di quanto abbiamo fatto noi (che stiamo agli inizi), ma con un paio di giorni mi leggo per bene anche le cose essenziali che mi mancano 
... c'è decisamente più teoria di quanto abbiamo fatto noi (che stiamo agli inizi), ma con un paio di giorni mi leggo per bene anche le cose essenziali che mi mancano
Ne approfitto per ringraziare di nuovo Martino per gli appunti, che sto utilizzando per il corso di teoria di Galois...
"Lorin":Prego
Ne approfitto per ringraziare di nuovo Martino per gli appunti, che sto utilizzando per il corso di teoria di Galois...
.. (OT: se trovi errori o imprecisioni mi farebbe piacere che me li segnalassi! Grazie!)
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