Polinomi, corpi e ideali

[manuelb93]

Buonasera, chiedo gentilmente una mano riguardo il seguente esercizio:
Sia $f(x)=x^4+3*x^2+2$ in $mathbb(Q)[x]$:
(1) Si dica, giustificando la risposta, se l'anello quoziente $A=(mathbb(Q)[x])/(f(x))$ è un campo.
(2) Si dica se $x+(f(x))$ è un elemento invertibile di A e, in caso affermativo, se ne determini l'inverso.
(3) Si determinino tutti gli ideali di $mathbb(Q)[x]$ che contengono l'ideale $(f(x))$.

Grazie in anticipo a chi risponderà

[Shocker1]

Qualche tuo tentativo? Quando il quoziente di un anello per un suo ideale è un campo?

[manuelb93]

Il quoziente tra un anello e un suo ideale è un campo quando (se e solo se) l'ideale è massimale. E qui ho primi problemi. L'unica cosa che posso notare è che se $(f(x))$ è massimale, sono a posto per il punto 3. Posso tranquillamente dire che l'ideale banale $mathbb(Q)[x]$ è l'unico che contiene $(f(x))$.

[Shocker1]

Ok, adesso devi chiederti: in $\mathbb{Q}[x]$ quando un ideale è massimale? Poiché $\mathbb{Q}[x]$ è un PID allora ogni ideale $I$ è generato da un generatore: $I = (f(x))$ con $f \in \mathbb{Q}[x]$, ora se $I$ è massimale è chiaro che $f$ non può essere riducibile, altrimenti si avrebbero divisori dello zero(pensaci!), poiché siamo in un PID vale anche il viceversa(esercizio), per cui in $\mathbb{Q}[x]$ un ideale $I = (f(x))$ è massimale se e solo se $f(x)$ è irriducibile. Sapendo questo risultato dovresti riuscire a svolgere l'esercizio.

[manuelb93]

Il polinomio fattorizzato diventa $(f(x))=(x^2+1)*(x^2+4)$. Per il teorema delle radici razionali ho che il polinomio è riducibile. Cioè $(f(x))$ non è massimale. Da cui ottengo che l'anello quoziente non è un campo e che $mathbb(Q)[x]$ non è l'unico ideale che contiene $(f(x))$.

fila?

[Shocker1]

Il polinomio si scompone come $(x^2 +1)(x^2+2)$. Non ho idea di cosa dica il teorema delle radici razionali
Comunque il polinomio è riducibile perché hai trovato una fattorizzazione in irriducibili, o almeno io l'avrei motivato così.
Quindi sì, l'ideale non è massimale e il quoziente non è un campo. Passiamo agli altri due punti, idee?

[manuelb93]

(2) Qua risponderei che poiché $A$ non è un campo $g(x)=x+(f(x))$ non è invertibile.

(3) Sempre poiché $A$ non è un campo, gli unici ideali che contengono $(f(x))$ sono $(f(x))$ stesso e $mathbb(Q)[x]$.

[killing_buddha]

"manuelb93":(2) Qua risponderei che poiché $A$ non è un campo $g(x)=x+(f(x))$ non è invertibile.

(3) Sempre poiché $A$ non è un campo, gli unici ideali che contengono $(f(x))$ sono $(f(x))$ stesso e $mathbb(Q)[x]$.

Tutto sbagliato

[manuelb93]

Bene

(2) Come so a priori se un elemento è invertibile o meno?

Dato per buono che sia invertibile, farei:
Posto $g(x)=x$
$f(x)=g(x)*(x^3+3*x)+2$ e $g(x)=2*((x^3)/2+(3*x)/2)$... Metto tutti i calcoli così andiamo in pace:

$g(x)=2*((x^3)/2+(3/2)*x)$ da cui $1+g(x)=2*((x^3)/2+(3*x)/2)+1$ e si ha $1+g(x)-[f(x)-g(x)*x]=1$.

E alla fine viene che l'inverso di $g(x)$ è $x^4/2+3*x^2/2+1$.

(3) Nemmeno la più pallida idea

[killing_buddha]

In un (quoziente di un) dominio euclideo
(2) sei invertibile se sei coprimo con il generatore dell'ideale per cui quozienti
(3) gli ideali si contengono mediante la relazione di divisibilità

[manuelb93]

"killing_buddha":(2) sei invertibile se sei coprimo con il generatore dell'ideale per cui quozienti
(3) gli ideali si contengono mediante la relazione di divisibilità

Quindi riguardo il punto (2), $x+(f(x))$ non è invertibile poiché posto $g(x)=x$, $M.C.D.(f(x),g(x))=2$.
Mentre al punto (3) rispondo che gli ideali che contengono $(f(x))$ sono tutti quelli generati da un polinomio $t(x)$ tale che $f(x)$ divide $t(x)$?