Polinomi ciclotomici coefficienti interi - dimostrazione

[nico88desmo]

Buongiorno a tutti,

come da titolo, dovrei dimostrare che un polinomio ciclotomico è un polinomio a coefficienti interi.
Volevo chiedere se questa dimostrazione è valida.
Notazione
$\Phi_n(x) = $ n-esimo polinomio ciclotomico

Dimostrazione

caso base: $n=1$
$\Phi_1(x) = x-1 \in \mathbb{Z}[X]$

ipotesi induttiva fino a valori $< n$

passo induttivo
$x^n-1 = \prod_{d|n}\Phi_d(x) = \Phi_n(x)\prod_{d|n, d per ipotesi induttiva $f \in \mathbb{Z}[X]$; questa è la divisione fatta in $\mathbb{C}[X]$, ed essendo il coefficiente direttore di f uguale a 1, quindi invertibile, questa divisione è unica.
Ora eseguo la stessa divisione in $\mathbb{Z}[X]$
$x^n-1 = qf +r$ con $ q,r \in \mathbb{Z}[X]$
essendo $\mathbb{Z}[X]$ sottoanello di $\mathbb{C}[X]$, le due scritture coincidono, per cui
$r=0$ e $q=\Phi_n(x)$