Polinomi a più variabili...
Carissimi ragazzi, nel corso dello studio delle coniche e delle quadriche mi sto imbattendo in molti concetti riguardanti i polinomi a più variabili dei quali tratterò nel corso di algebra II previsto per il secondo semestre; pertanto vi chiedo, cortesemente, di consigliarmi un qualche testo con nozioni complete a riguardo di tale argomento, dal momento che i testi utilizzati per algebra I restano fermi al caso di polinomi in una sola variabile. Ringrazio anticipatamente per la collaborazione.
Risposte
Trovare qualcosa a riguardo sta diventando una missione impossibile!
Epopeico....
Attenzione che nel corso di Algebra II queste cose non si trattano 
Seconda cosa, provate a vedere su qualche testo consigliato per il corso di matematiche complementari (secondo semestre se non sbaglio), oppure postate il problema e magari ne parliamo direttamente qui.
Seconda cosa, provate a vedere su qualche testo consigliato per il corso di matematiche complementari (secondo semestre se non sbaglio), oppure postate il problema e magari ne parliamo direttamente qui.
Bene! Quindi i polinomi a più variabili restano un mistero.
Salve menale,
difficilmente si riesce a reperire qualcosa in merito, io intanto comincio col cercare qualcosa.
http://planetmath.org/encyclopedia/Monomial2.html
http://eom.springer.de/P/p073690.htm
Cordiali saluti
"menale":
Carissimi ragazzi, nel corso dello studio delle coniche e delle quadriche mi sto imbattendo in molti concetti riguardanti i polinomi a più variabili dei quali tratterò nel corso di algebra II previsto per il secondo semestre; pertanto vi chiedo, cortesemente, di consigliarmi un qualche testo con nozioni complete a riguardo di tale argomento, dal momento che i testi utilizzati per algebra I restano fermi al caso di polinomi in una sola variabile. Ringrazio anticipatamente per la collaborazione.
difficilmente si riesce a reperire qualcosa in merito, io intanto comincio col cercare qualcosa.
http://planetmath.org/encyclopedia/Monomial2.html
http://eom.springer.de/P/p073690.htm
Cordiali saluti
Per coniche e quadriche puoi andare qui, cliccare a sinistra su "Geometria 2A" e poi a destra su "file pdf" nel testo. C'è una dispensa di geometria proiettiva, forme quadratiche e via dicendo. Se la trovi troppo avanzata forse è perché devi aspettare di seguire il corso 
(o forse lo stai già seguendo? Non so).
Riporto il mio botta e risposta con menale, che può tornare utile.
(o forse lo stai già seguendo? Non so).Riporto il mio botta e risposta con menale, che può tornare utile.
"menale":
MI serve in relazione alle coniche ed alle quadriche per le quali valgono una serie di risultati notevoli per i polinomi a più variabili. Ad esempio non riesco a reperire il teorema che asserisce:
Preso un polinomio di r-variabili ( con e almeno eguale a due) non costante, infinite sono le sue soluzioni. Inoltre con r almeno pari a 3 ne esistono di infinite non proporzionali......
"Martino":
Le coniche (due variabili nel caso affine, tre nel proiettivo) e le quadriche (tre variabili nel caso affine, quattro nel proiettivo) hanno grado due (e per il grado due c'è tutta la teoria necessaria - che farete - usando le matrici), quindi per questo non ti serve tutta una teoria generale (di cui, ripeto, non ho mai sentito parlare) dei polinomi a più variabili (di grado arbitrario, si intende). Il motivo è che spesso un problema in n variabili si riduce facilmente a un problema in una variabile.
Ti faccio un esempio col problema che mi proponi. Immagino tu sia su un campo algebricamente chiuso (per esempio [tex]x^2+y^2[/tex] su [tex]\mathbb{R}[/tex] non ha soluzioni), e in questo caso ti puoi facilmente ricondurre al caso di una sola variabile: se prendi [tex]F(x_1,...,x_n)[/tex] polinomio su [tex]\mathbb{C}[/tex] e prendi un qualsiasi [tex](a_2,...,a_n) \in \mathbb{C}^{n-1}[/tex] allora il polinomio [tex]F(X,a_2,...,a_n)[/tex] ha una variabile, quindi, poiché il tuo campo è algebricamente chiuso, esiste [tex]a_1 \in \mathbb{C}[/tex] tale che [tex]F(a_1,...,a_n)=0[/tex]. Così hai prodotto infinite soluzioni, vedi?
Ciao
Grazie per i consigli in merito.
@Martino-Il corso lo sto seguendo, il problema restano alcune cose a riguardo dei polinomi a più variabili che non sono stati trattati nel corso di algebra I; per tale motivo ero alla ricerca di un qualche testo in merito.
@Martino-Il corso lo sto seguendo, il problema restano alcune cose a riguardo dei polinomi a più variabili che non sono stati trattati nel corso di algebra I; per tale motivo ero alla ricerca di un qualche testo in merito.
@Garnak-Interessante il testo che mi hai proposto, almeno ad una prima rapida occhiata. 
Quindi in realtà questi strumenti sono un pò esagerati per geometria 2?
I polinomi di secondo grado in [tex]n[/tex] variabili sono rappresentabili in modo efficace tramite matrici simmetriche, c'è tutta una teoria, leggete il pdf che vi ho segnalato nell'intervento precedente, e se volete solo un riferimento veloce guardate qui. Ricordando che ogni polinomio nelle variabili [tex]x_1,...,x_n[/tex] può essere "omogeneizzato" tramite una variabile ausiliaria [tex]x_0[/tex] usando le nuove variabili [tex]X_i:=x_i/x_0[/tex]. Ma questa è teoria generalissima che, se state seguendo un corso su coniche e quadriche, dovreste aver già fatto.
Per esempio il polinomio [tex]ax^2+2bxy+cy^2[/tex] e' rappresentato dalla matrice [tex]\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right)[/tex].
Per esempio il polinomio [tex]ax^2+2bxy+cy^2[/tex] e' rappresentato dalla matrice [tex]\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right)[/tex].
"Mrhaha":Quali strumenti?
Quindi in realtà questi strumenti sono un pò esagerati per geometria 2?
Forse che si forse che no!
Intendo la teoria in generale dei polinomi a più variabili! Quello che ci serve alla fine sono solo polinomi a due variabili (per ora) di grado 2!
Ciao Mrhaha,
puoi provare:
- Appendice A di E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri.
Credo che per quello che chiedi possa bastare. Il libro in se' non mi ha mai convinto piu' di tanto,
ma e' scritto con cura e l'appendice sui polinomi e' "progettata" appositamente per le applicazioni in geometria, quindi...
Se lo trovi insufficiente puoi provare (ma non te lo consiglio come prima scelta):
- Primo capitolo (vado a memoria) di M. Giradi, G. Israel, Teoria dei campi, Feltrinelli.
E' fuori commercio da anni ma dovrebbe essere presente nella biblioteca di un qualunque
dipartimento di Matematica.
Oppure:
- Capitolo 2 di S. Bosch, Algebra, Springer.
Buona lettura,
Alessio
puoi provare:
- Appendice A di E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri.
Credo che per quello che chiedi possa bastare. Il libro in se' non mi ha mai convinto piu' di tanto,
ma e' scritto con cura e l'appendice sui polinomi e' "progettata" appositamente per le applicazioni in geometria, quindi...
Se lo trovi insufficiente puoi provare (ma non te lo consiglio come prima scelta):
- Primo capitolo (vado a memoria) di M. Giradi, G. Israel, Teoria dei campi, Feltrinelli.
E' fuori commercio da anni ma dovrebbe essere presente nella biblioteca di un qualunque
dipartimento di Matematica.
Oppure:
- Capitolo 2 di S. Bosch, Algebra, Springer.
Buona lettura,
Alessio
Grazie Alessio!
Figurati 
spero ti possano essere di qualche aiuto
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