Polinomi a coefficienti in un campo. Alcuni teoremi.
Ragazzi, apro questo thread per togliermi alcuni dubbi, anche se possono sembrare molto ma molto banali.
Ho questa proposizione da dimostrare :
Lemma di Bezout Sia $K$ un campo.
E siano $a(x),b(X) in K[x]$ . Allora esiste un massimo comune divisore $d(x)$ di $a(X),b(X)$. Inoltre esistono $s(X),t(X) in K[x]$ tali che $s(X)a(X)+t(X)b(X)=d(X)$
Insomma è un po il corrispettivo del lemma di Bezout per gli interi.
Mi blocco un poco su una parte della sua dimostrazione, mi spiego. L'ho dimostrato cosi.
dim Esistenza.
Consideriamo l'insieme $C={a(x)f(X)+b(X)g(X) | g(X), f(X) in K [x] }$
Consideriamo $D$ l'insieme dei gradi dei polinomi di $C$.
Allora, $D sube NN$ e pertanto ammette un minimo $d$.
Consideriamo $d(X) in K[x] | deg(d(X)) = d$
Allora, $EE s(X), t(X) in K[x] : s(X)a(x)+b(X)t(x)=d(X)$. Ciò prova l'esistenza di $s(X) , t(X)$.
Provo ora che $d(X)$ è un massimo comune divisore di $a(X) ,b(X)$.
Provo innanzi tutto che $d(x)|a(X) ( b(x))$.
Consideriamo la divisione euclidea di $a(X) $ per $d(X)$
ho che $a(X)=d(x)q(X)+r_1(x)$ per certi $q(X), r(X) in K[x]$ . Ora per il teorema di divisione euclidea $degr_1 < degd$ ma essendo $d$ minimo, segue che $deg(r_1)=0 => r_1(X)$ è costante.
Ma non mi dice nulla che $r_1(X)=0$
in cosa sbaglio? ho mancato qualche considerazione importante?
grazie mille
Ho questa proposizione da dimostrare :
Lemma di Bezout Sia $K$ un campo.
E siano $a(x),b(X) in K[x]$ . Allora esiste un massimo comune divisore $d(x)$ di $a(X),b(X)$. Inoltre esistono $s(X),t(X) in K[x]$ tali che $s(X)a(X)+t(X)b(X)=d(X)$
Insomma è un po il corrispettivo del lemma di Bezout per gli interi.
Mi blocco un poco su una parte della sua dimostrazione, mi spiego. L'ho dimostrato cosi.
dim Esistenza.
Consideriamo l'insieme $C={a(x)f(X)+b(X)g(X) | g(X), f(X) in K [x] }$
Consideriamo $D$ l'insieme dei gradi dei polinomi di $C$.
Allora, $D sube NN$ e pertanto ammette un minimo $d$.
Consideriamo $d(X) in K[x] | deg(d(X)) = d$
Allora, $EE s(X), t(X) in K[x] : s(X)a(x)+b(X)t(x)=d(X)$. Ciò prova l'esistenza di $s(X) , t(X)$.
Provo ora che $d(X)$ è un massimo comune divisore di $a(X) ,b(X)$.
Provo innanzi tutto che $d(x)|a(X) ( b(x))$.
Consideriamo la divisione euclidea di $a(X) $ per $d(X)$
ho che $a(X)=d(x)q(X)+r_1(x)$ per certi $q(X), r(X) in K[x]$ . Ora per il teorema di divisione euclidea $degr_1 < degd$ ma essendo $d$ minimo, segue che $deg(r_1)=0 => r_1(X)$ è costante.
Ma non mi dice nulla che $r_1(X)=0$
in cosa sbaglio? ho mancato qualche considerazione importante?
grazie mille
Risposte
Presumo che tu assuma che i polinomi non siano nulli...
Esatto Rggb. In tal caso basta prendere $S(X)=t(X)=0$. Oppure se uno dei due è nullo basta prendere $S(X)=1 ^^ T(X)=0 $ o viceversa
Suppongo infatti che $a(X),b(X)$ siano entrambi non nulli. Gioco sul fatto che l'insieme dei gradi dei polinomi di quella forma è $sube NN$ e quindi ha minimo e quindi esistono $S(X) , T(X) , d(X)$ tali che $s(X)a(X)+t(X)b(X)=d(X)$(1). Ora però devo accertarmi che $d(X)$ sia realmente un massimo comune divisore di $a(X), b(X)$. Ci riprovo. Forse mi sono mangiato le mani da solo! stavo facendo bene, era la conclusione sbagliata. Ah sto caldo!
Consideriamo la divisione euclidea di $a(X) $ per $d(X)$.
Abbiamo che $a(X)=d(X)q_1(x)+r_1(X)$ per qualche $q_1(X) , r_1(X) in K[x]$
Ma allora risulta che $deg(r_1)
Mostriamo ora che $AA e(X) in K[x] t.c e(X)|a(X) , e(X)|b(X) => e(X)|d(X)$
se $e(X)|a(X) => e(X)|a(X)s(X) ^^ e(X)|b(X) => e(X)|b(X)t(X) => e(X)|a(X)s(X)+b(X)t(X)=d(X)$ la tesi. Ciò mostra che $d(X)$ è un massimo comun divisore tra $a(X)^^b(X)$
che ne dite, funziona?
Suppongo infatti che $a(X),b(X)$ siano entrambi non nulli. Gioco sul fatto che l'insieme dei gradi dei polinomi di quella forma è $sube NN$ e quindi ha minimo e quindi esistono $S(X) , T(X) , d(X)$ tali che $s(X)a(X)+t(X)b(X)=d(X)$(1). Ora però devo accertarmi che $d(X)$ sia realmente un massimo comune divisore di $a(X), b(X)$. Ci riprovo. Forse mi sono mangiato le mani da solo! stavo facendo bene, era la conclusione sbagliata. Ah sto caldo!
Consideriamo la divisione euclidea di $a(X) $ per $d(X)$.
Abbiamo che $a(X)=d(X)q_1(x)+r_1(X)$ per qualche $q_1(X) , r_1(X) in K[x]$
Ma allora risulta che $deg(r_1)
Mostriamo ora che $AA e(X) in K[x] t.c e(X)|a(X) , e(X)|b(X) => e(X)|d(X)$
se $e(X)|a(X) => e(X)|a(X)s(X) ^^ e(X)|b(X) => e(X)|b(X)t(X) => e(X)|a(X)s(X)+b(X)t(X)=d(X)$ la tesi. Ciò mostra che $d(X)$ è un massimo comun divisore tra $a(X)^^b(X)$
che ne dite, funziona?
Mi sembra corretto 
Thanks Gun 
Si però io semplicemente dicevo: essendo i polinomi non nulli, puoi usare l'algoritmo di Euclide, e quindi dimostri facilmente che
- l'algoritmo termina in un numero finito di passi;
- l'ultimo resto non nullo è il MCD;
- il MCD esiste sempre.
Boh... non è più semplice?
- l'algoritmo termina in un numero finito di passi;
- l'ultimo resto non nullo è il MCD;
- il MCD esiste sempre.
Boh... non è più semplice?
Rggb forse mi sbaglio, ma l'algoritmo di euclide, dice si certo che esiste il massimo comune divisore, ma non dice nulla circa i coefficienti di Bezout o sbaglio?
Certo. Io mi riferivo alla dimostrazione dell'esistenza del massimo comun divisore.
Ho capito Rggb
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