Polinomi

[francescodd1]

Sia p(x,y) un polinomio a coefficienti reali nelle due variabili x e y tale che p(n,0) = 0 per ogni intero positivo n. Si provi che esiste un polinomio q(x,y) tale che p(x,y) = y ·q(x,y). (Si ricorda che un polinomio p(x,y) nelle variabili x e y e una somma finita di monomi del tipo a · xn · ym, dove a e un numero reale ed n e m sono numeri interi maggiori o uguali a 0.)

[maurer]

Naturalmente se deve essere $p(n,0)=0$ allora $p(x,y)=sum_{i=0}^N k_ix^(a_i)y^(b_i)$ dove $b_i!=0$. Di conseguenza $p(x,y)$ sarà sempre divisibile per $y$ senza resto, ossia in $(p(x,y))/y=q(x,y)+r(x,y)$ il resto $r(x,y)$ è identicamente nullo (credo si dica così!)...
Il ragionamento mi sembra corretto... ma se ho fatto degli errori fatemelo notare!

[maurer]

Forse è più semplice detto così...
Se $p(n,0)=0 AAx in NN$ allora, per legge di annullamento del prodotto posso raccogliere $y^i$, con $i>0$. Naturalmente questo implica che $p(x,y)=yp(x,y^(-i))$ e visto che $p(x,y^(-i))!=p(x,y)$ ho trovato un nuovo polinomio $q(x,y)=p(x,y^(-i))$ che soddisfa la richiesta...
ti sembra che come dimostrazione funzioni?

[francescodd1]

si grazie