Polinomi

[donald_zeka]

Un Polinomio non identicamente nullo soddisfa la relazione :
P(P(x))=P(2x+1)+p(2x+3)
trovare il valore di p(5)

Non so da dove partire in problemi del genere, mi spiegate il ragionamento?

[ficus2002]

Confrontando i gradi dei membri dell'identità data, si deduce che il polinomio può avere grado non maggiore di $1$, quindi $P(x)=ax+b$. Di conseguenza,
$$a(ax+b)+b=a(2x+1)+b+a(2x+3)+b$$
da cui
$$(a^2-4a)x+ab-4a-b=0.$$
Per il principio d'identità dei polinomi, si ottiene $a(a-4)=0$ e $ab-4a-b=0$.
Se $a=0$ segue $b=0$, impossibile.
Se $a\ne 0$ si ottiene $a=4$ e $b=0$.
Quindi $P(x)=4x$ e $P(5)=20$.

[Whisky84]

Credo ci sia un errore di calcolo, a me risulta: $b=\frac{16}{3}$.

Quindi $P(x) = 4x+\frac{16}{3}$. Infatti:

$P(P(x)) = 4(4x+\frac{16}{3}) + \frac{16}{3} = 16x + \frac{80}{3}$
$P(2x+1) = 4(2x+1) + \frac{16}{3} = 8x + \frac{28}{3}$
$P(2x+3) = 4(2x+3) + \frac{16}{3} = 8x + \frac{52}{3}$


$P(2x+1) + P(2x+3) = 8x + \frac{28}{3} + 8x + \frac{52}{3} = 16x+ \frac{80}{3} = P(P(x))$.