$P<=>Q$ se e solo se $P$ e $Q$ sono entrambe vere o entrambe false

[BoG3]

Ciao a tutti, ho da fare un esercizio: dimostrare che: $P<=>Q$ se e solo se $P$ e $Q$ sono entrambe vere o entrambe false.
Io ho pensato: Se $P<=>Q$ allora posso scomporlo in $P=>Q$ e $Q=>P$.
Dimostrandole singolarmente dimostro l'equivalenza.
Quindi comincio con $P=>Q$:
Uso la regola di derivazione: Se $P$ è vera e $P=>Q$ è vera, allora anche $Q$ è vera.
Il mio prof dice questo: "io posso sostituire $P=>Q$ con $(\(text(not) P)$ o $Q)$, quindi sostituendola nella regola di derivazione, ho che essa diventa: Se $P$ è vera e $(\(text(not) P)$ o $Q)$ è vera, allora anche $Q$ è vera. Ma perchè $(\(text(not) P) $ o $Q)$ sia vera ho 2 possibiltà: $\text(not) P$ è vera oppure $Q$ è vera. Dato che $\text(not) P$ non puo' essere vera, per ipotesi (perchè $P$ è vera), rimane solo l'eventualita' di $Q$ vera." lo stesso discorso va fatto per l'altra implicazione.

Tuttavia io non capisco perche' $P=>Q$ è uguale a $(\(text(not) P)$ o $Q)$.
Non mi è chiara la tabella di verita' della implicazione.

P	Q	P<=>Q
V	V	V
F	F	V
F	F	V

Prima e seconda riga ..sono d'accordo, ma la 3° e 4°... ? perchè? PS: ok, la 4°... mi sembra sensata... ma la 3°?

Grazie mille per l'aiuto

[Caenorhabditis]

Quale definizione di doppia implicazione devi usare?

[BoG3]

non ha dato alcuna definizione ha scritto alla lavagna:

Doppia implicazione (Equivalenza): $P<=>Q$ significa $P=>Q$ e $Q=>P$.

Esercizio per casa: Dimostrare che $P<=>Q$ è vera se e solo se $P$ e $Q$ sono entrambe vere o entrambe false.

[Caenorhabditis]

La prima riga è una definizione.

Ti basta enumerare tutti e quattro i casi, no?

[BoG3]

il fatto è che io non capisco perchè se $P$ è falsa e $Q$ è vera allora $P=>Q$ è vera

[gugo82]

"BoG":il fatto è che io non capisco perchè se $P$ è falsa e $Q$ è vera allora $P=>Q$ è vera

Per definizione e "buon senso matematico".

In altri termini, bisogna riflettere sulla seguente questione: che vuol dire "implicazione"?
Per un matematico/logico, vuol dire che il verificarsi delle premesse comporta il verificarsi delle conseguenze e che, viceversa, il non verificarsi delle conseguenze non può accompagnarsi ad un verificarsi delle premesse; da ciò seguono la prima e la seconda riga della tabella:

\(P\)	\(Q\)	\(P \Rightarrow Q\)
V	V	V
F	F	V
F	F	?

Della terza e quarta riga invece non possiamo dire nulla... Ma ragioniamoci sopra, informalmente. Cosa è più sensato fare?

Partiamo dalla classica "se fuori piove, esco con l'ombrello": cosa possiamo dedurre da questa frase se "fuori non piove"?
Beh, nulla.
Infatti, possiamo lasciare l'ombrello a casa (perché è scomodo da portar dietro); ma possiamo anche prenderlo (perché ci dà fastidio il troppo sole o perché temiamo che venga a piovere più tardi). Ed ognuno di questi comportamenti è, in un certo senso, "lecito".
Per questo motivo, è lecito assumere che da una premessa falsa possa seguire qualsiasi cosa, e cioè che la tabella di verità dell'implicazione possa essere completata come segue:

\(P\)	\(Q\)	\(P\Rightarrow Q\)
V	V	V
F	F	V
F	F	V

In questo modo si vede che \(P\Rightarrow Q\) è del tutto equivalente a \(\lnot P\lor Q\).

[BoG3]

Grazie mille,
vengo ora da una serie di ricerche di esempi in rete e credo di aver afferrato l'argomento.
Grazie ancora per avermi risposto.
Ciao