Piccolo teorema di Fermat (esercizio esame)

[ggiacomo1]

Ciao a tutti,

non riesco a capire come svolgere il seguente esercizio :

Utilizzando il teorema di Fermat dire per quali n∈Z il numero 9$n^30$+4$n^21$+7$n^11$+2 è multiplo di 11.

Qualcuno può aiutarmi?

Grazie in anticipo

[anto_zoolander]

Intanto benvenut*
Poi solitamente si propone almeno un'idea di soluzione per partire da quella.
Magari sarà per la prossima volta
vedo di aiutarti.

Allora intanto cerchiamo di vedere come possa esserci utile il piccolo teorema di Fermat.
Sappiamo che $forallainNN,forallp(primo)(a^pequiva(modp))$
Ma ancora più importante, cosa che serve a noi, che se $(a,p)=1=>a^(p-1)equiv1(modp)$ con $ane0$

Prendiamo i casi che altrimenti escluderemmo, ovvero, $n=0,n=kp$

Se $n=0$ otteniamo che tutta quella espressione è congrua a $2$ modulo $11$ e quindi per $n=0$ quella espressione non è un multiplo di $11$.

Se $n=11k,kinNN^+$(in realtà avremmo potuto considerare il caso precedente come un caso particolare di questo, con $k=0$, ma facciamo i pedanti). Otterremmo questa scrittura

$9(11k)^(30)+4(11k)^21+7(11k)^11+2$

Evitiamo calcoli inutili e notiamo che tra i primi tre termini posso raccogliere almeno un $11$, dunque, possiamo semplificatela scrittura scrivendo $11z+2$ Dove $z$ è la quantità ottenuta dopo aver messo a fattore comune $11$.
Ora $[11z+2]_(11)=[11]_(11)[z]_(11)+[2]$ ovviamente quel prodotto fa $0$ poiché $[11]_(11)=[0]_(11)$ quindi alla fine ottiamo che se $n=11k$ allora $h=9n^(30)+4n^(21)+7n^(11)+2$ non è un multiplo di $11$, infatti

$hequiv2(mod11)<=>h=11t+2$

Ora trattiamo il caso con $n ne11k,kinNN$

Per il teorema di Fermat sappiamo ora che $n^10equiv1(mod11)$
Eleviamo prima al cubo entrambi i membri e poi moltiplichiamo per $9$ ottenendo

$9n^(30)equiv9(mod11)$

Per il secondo termine, eleviamo al quadrato, e moltiplichiamo per $4n$ ottenendo

$4n^(21)equiv4n(mod11)$

Per il terzo termine, moltiplichiamo semplicemente per $7n$ ottenendo

$7n^21equiv7n(mod11)$

Infine abbiamo il sistema ${(9n^(30)equiv9(mod11)),(4n^(21)equiv4n(mod11)),(7n^11equiv7n(mod11)),(2equiv2(mod11)):}$

Ora sommiamo membro a membro ottenendo

$9n^(30)+4n^(21)+7n^(11)+2equiv9+4n+7n+2(mod11)$

Ma il membro di destra è $11n+11=11(n+1)in[0]_11$
Quindi possiamo concludere che $forallninNN-{11k|kinNN}$ quel numero è un multiplo di $11$.

Spero di essere stato chiaro

[ggiacomo1]

"anto_zoolander":Intanto benvenut*
Poi solitamente si propone almeno un'idea di soluzione per partire da quella.
Magari sarà per la prossima volta
vedo di aiutarti.

Allora intanto cerchiamo di vedere come possa esserci utile il piccolo teorema di Fermat.
Sappiamo che $forallainNN,forallp(primo)(a^pequiva(modp))$
Ma ancora più importante, cosa che serve a noi, che se $(a,p)=1=>a^(p-1)equiv1(modp)$ con $ane0$

Prendiamo i casi che altrimenti escluderemmo, ovvero, $n=0,n=kp$

Se $n=0$ otteniamo che tutta quella espressione è congrua a $2$ modulo $11$ e quindi per $n=0$ quella espressione non è un multiplo di $11$.

Se $n=11k,kinNN^+$(in realtà avremmo potuto considerare il caso precedente come un caso particolare di questo, con $k=0$, ma facciamo i pedanti). Otterremmo questa scrittura

$9(11k)^(30)+4(11k)^21+7(11k)^11+2$

Evitiamo calcoli inutili e notiamo che tra i primi tre termini posso raccogliere almeno un $11$, dunque, possiamo semplificatela scrittura scrivendo $11z+2$ Dove $z$ è la quantità ottenuta dopo aver messo a fattore comune $11$.
Ora $[11z+2]_(11)=[11]_(11)[z]_(11)+[2]$ ovviamente quel prodotto fa $0$ poiché $[11]_(11)=[0]_(11)$ quindi alla fine ottiamo che se $n=11k$ allora $h=9n^(30)+4n^(21)+7n^(11)+2$ non è un multiplo di $11$, infatti

$hequiv2(mod11)<=>h=11t+2$

Ora trattiamo il caso con $n ne11k,kinNN$

Per il teorema di Fermat sappiamo ora che $n^10equiv1(mod11)$
Eleviamo prima al cubo entrambi i membri e poi moltiplichiamo per $9$ ottenendo

$9n^(30)equiv9(mod11)$

Per il secondo termine, eleviamo al quadrato, e moltiplichiamo per $4n$ ottenendo

$4n^(21)equiv4n(mod11)$

Per il terzo termine, moltiplichiamo semplicemente per $7n$ ottenendo

$7n^21equiv7n(mod11)$

Infine abbiamo il sistema ${(9n^(30)equiv9(mod11)),(4n^(21)equiv4n(mod11)),(7n^11equiv7n(mod11)),(2equiv2(mod11)):}$

Ora sommiamo membro a membro ottenendo

$9n^(30)+4n^(21)+7n^(11)+2equiv9+4n+7n+2(mod11)$

Ma il membro di destra è $11n+11=11(n+1)in[0]_11$
Quindi possiamo concludere che $forallninNN-{11k|kinNN}$ quel numero è un multiplo di $11$.

Spero di essere stato chiaro

Ti ringrazio della risposta.
Tuttavia ho ancora un dubbio : nell'esercizio

$7n^(15)+ 5n^(14) +8n^(13)+6n^(3)+8n^(2)+5n$ multiplo di 13?

Quando trattiamo il caso $n ne13k,kinNN$ , sappiamo che $ n^(12) equiv1 (mod13)$ e otteniamo che

$7n^(15)equiv7n^(2) mod(13)$

$5n^(14)equiv5n mod(13)$

$8n^(13)equiv8 mod(13)$

Quindi:

$7n^(15)+ 5n^(14) +8n^(13)+6n^(3)+8n^(2)+5n equiv7n^(2)+5n+8+6n^(3)+8n^(2)+5n$ <=> $6n^(3)+15n^(2)+10n+8$

Come devo procedere?

[axpgn]

[ot]Che senso ha riportare tutto il post precedente? ... esiste il tasto "RISPONDI", il tasto "CITA" serve per altro ...[/ot]

[anto_zoolander]

A parte che ribadisco quanto detto da Alex..

Poi hai sbagliato le congruenze.

${(7n^15equiv7n^3(mod13)),(5n^14equiv5n^2(mod13)),(8n^13equiv8n(mod13)):}$

Hai shiftato i membri di destra, in basso, di un esponente.

Infatti $7n^3+5n^2+8n+6n^3+8n^2+5n=13(n^3+n^2+n)in[0]_(13)$

[ggiacomo1]

Errore di distrazione.
Ti ringrazio anto per il tuo aiuto!