Piccolo esercizio sommatoria
salve a tutti, ho dei problemi con questo esercizio
$\sum_{k=0}^9 3^(2k+1)$
la traccia dice: "la somma delle prime 10 potenze dispari di 3"
svolgendo l'esercizio normalmente si avrà qualcosa come $\3^19 + 3^17 3^15+.... + 3^5 3^3 + 3^1$ con risultato 1307344860
ma io devo fare in modo di utilizzare la proposizione somma algebrica, almeno credo! anche perchè c'ho provato e mi esce qualcosa tipo $\(1-3^(2(9+1)+1))/(1-3)$ ovvero $\(1-3^21)/(1-3)$
non so come andare avanti e ne se sia giusto.
Qualcuno può darmi una delucidazione e darmi una mano?
$\sum_{k=0}^9 3^(2k+1)$
la traccia dice: "la somma delle prime 10 potenze dispari di 3"
svolgendo l'esercizio normalmente si avrà qualcosa come $\3^19 + 3^17 3^15+.... + 3^5 3^3 + 3^1$ con risultato 1307344860
ma io devo fare in modo di utilizzare la proposizione somma algebrica, almeno credo! anche perchè c'ho provato e mi esce qualcosa tipo $\(1-3^(2(9+1)+1))/(1-3)$ ovvero $\(1-3^21)/(1-3)$
non so come andare avanti e ne se sia giusto.
Qualcuno può darmi una delucidazione e darmi una mano?
Risposte
Non ho capito il tuo sviluppo ...
Questa sommatoria $\sum_{k=0}^9 3^(2k+1)$ equivale a $3^1+3^3+3^5+...+3^19$
Cosa devi dimostrare di preciso (e come) ?
Cordialmente, Alex
Questa sommatoria $\sum_{k=0}^9 3^(2k+1)$ equivale a $3^1+3^3+3^5+...+3^19$
Cosa devi dimostrare di preciso (e come) ?
Cordialmente, Alex
Forse ho capito ... ci provo ma declino ogni responsabilità ... 
Dato che $(3^20-1^20)/(3-1)=3^19+3^18+...+3^2+3^1+3^0$ e che $(3^20-1^20)/(3+1)=3^19-3^18+...-3^2+3^1-3^0$ allora sommandole otteniamo $(3^20-1^20)/(3-1)+(3^20-1^20)/(3+1)=2*(3^19+3^17+...+3^3+3^1)$ da cui $3^19+3^17+...+3^3+3^1=[(3^20-1^20)/(3-1)+(3^20-1^20)/(3+1)]*1/2$
Ti pare corretto?
Cordialmente, Alex
Dato che $(3^20-1^20)/(3-1)=3^19+3^18+...+3^2+3^1+3^0$ e che $(3^20-1^20)/(3+1)=3^19-3^18+...-3^2+3^1-3^0$ allora sommandole otteniamo $(3^20-1^20)/(3-1)+(3^20-1^20)/(3+1)=2*(3^19+3^17+...+3^3+3^1)$ da cui $3^19+3^17+...+3^3+3^1=[(3^20-1^20)/(3-1)+(3^20-1^20)/(3+1)]*1/2$
Ti pare corretto?
Cordialmente, Alex
Dato che $3^(2k+1)= 3* 9^k$, abbiamo $3 * sum_{k=0}^9 9^k$
"Gi8":
Dato che $ 3^(2k+1)= 3* 9^k $, abbiamo $ 3 * sum_{k=0}^9 9^k $
$ 3^(2k+1)= 3* 9^k $ quindi $ 3 * sum_{k=0}^9 9^k $ per quale proprietà? sempre se è per una proprietà, magari è un semplice passaggio che non capisco, puoi spiegarmelo per favore?
Riprendendo Gi8 ...
Dato che $ 3^(2k+1)=(3^2)^k*3= 3* 9^k $ allora abbiamo $sum_{k=0}^9 3*9^k $.
A questo punto vediamo che $3$ è una costante dei termini della sommatoria (cioè non dipende dall'indice $k$) e quindi possiamo portarlo "fuori" dalla sommatoria stessa ...
Però non hai ancora specificato "come" devi risolverlo, avevo capito che dovevi usare una semplificazione tipo la mia ...
Cordialmente, Alex
Dato che $ 3^(2k+1)=(3^2)^k*3= 3* 9^k $ allora abbiamo $sum_{k=0}^9 3*9^k $.
A questo punto vediamo che $3$ è una costante dei termini della sommatoria (cioè non dipende dall'indice $k$) e quindi possiamo portarlo "fuori" dalla sommatoria stessa ...
Però non hai ancora specificato "come" devi risolverlo, avevo capito che dovevi usare una semplificazione tipo la mia ...
Cordialmente, Alex
la traccia dice: in questo esercizio "calcolare la somma" significa trovare un'espressione semplice, che non contenga più il simbolo di sommatoria, che esprima quanto vale la somma. Utilizzando quindi le sue proprietà, e le proposizioni dimostrate.
Non riuscendo, sono andato a sbirciare il risultato ed è $ (3/8)(9^10 -1) $ ,non riesco a capire come si arriva a questa soluzione in "un colpo solo", o comunque con pochi passaggi.
Per la versione estesa ci sono, il risultato esce, ovvero 1307344860 ma per l'altro tipo di soluzione no.. help me
Per la versione estesa ci sono, il risultato esce, ovvero 1307344860 ma per l'altro tipo di soluzione no.. help me
Quindi l'importante era risolverlo non il modo ...
Comunque, forse non te ne sei accorto, ma è quello che ho scritto ...
Riprendo il mio risultato finale ...
$[(3^20-1^20)/(3-1)+(3^20-1^20)/(3+1)]*1/2=[(9^10-1)/2+(9^10-1)/4]*1/2=[(2(9^10-1)+(9^10-1))/4]*1/2=$
$=(3(9^10-1))/8$
Cordialmente, Alex
Comunque, forse non te ne sei accorto, ma è quello che ho scritto ...
Riprendo il mio risultato finale ...
$[(3^20-1^20)/(3-1)+(3^20-1^20)/(3+1)]*1/2=[(9^10-1)/2+(9^10-1)/4]*1/2=[(2(9^10-1)+(9^10-1))/4]*1/2=$
$=(3(9^10-1))/8$
Cordialmente, Alex
"curcied":
$ 3^(2k+1)= 3* 9^k $ quindi $ 3 * sum_{k=0}^9 9^k $ per quale proprietà?
In generale $sum_(k=a)^b n*c_k = n * sum_(k=a)^b c_k$
Cioè, se un fattore non dipende dall'indice della sommatoria, lo si può "portare fuori" dalla sommatoria stessa.
Quindi $sum_{k=0}^9 3^(2k+1)= sum_{k=0}^9 3*9^k = 3 * sum_{k=0}^9 9^k$.
Ora, quanto fa $sum_{k=0}^9 9^k$?
Saprai senz'altro che $sum_{k=0}^N a^k= (a^(N+1)-1)/(a-1)$ (se $a!= 1$), dunque...
perdonami, ma sono duro di comprendonio, perchè?
non capisco da dove esce questo $ (3^20-1^20)/(3-1) $ e $ (3^20-1^20)/(3+1) $
qui invece il 2 si porta al numeratore normalmente ? e poi si moltiplica tutta la parentesi quadra per $1/2$ ?
"axpgn":
$ (3^20-1^20)/(3-1)=3^19+3^18+...+3^2+3^1+3^0 $ e che $ (3^20-1^20)/(3+1)=3^19-3^18+...-3^2+3^1-3^0 $ allora sommandole otteniamo $ (3^20-1^20)/(3-1)+(3^20-1^20)/(3+1)=2*(3^19+3^17+...+3^3+3^1) $
non capisco da dove esce questo $ (3^20-1^20)/(3-1) $ e $ (3^20-1^20)/(3+1) $
qui invece il 2 si porta al numeratore normalmente ? e poi si moltiplica tutta la parentesi quadra per $1/2$ ?
"axpgn":
$[(9^10-1)/2+(9^10-1)/4]*1/2=[(2(9^10-1)+(9^10-1))/4]*1/2=$
$=(3(9^10-1))/8$
Premetto che ho seguito quella strada perché mi è sembrato che fosse quello che volevi, altrimenti lo sviluppo di Gi8 è quello più lineare, però prima di proseguire voglio chiederti se hai compreso quello che Gi8 ha scritto nel suo ultimo post, dove ci sono le due chiavi di interpretazione del problema, ok?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"Gi8":
[quote="curcied"]$ 3^(2k+1)= 3* 9^k $ quindi $ 3 * sum_{k=0}^9 9^k $ per quale proprietà?
In generale $sum_(k=a)^b n*c_k = n * sum_(k=a)^b c_k$
Cioè, se un fattore non dipende dall'indice della sommatoria, lo si può "portare fuori" dalla sommatoria stessa.
Quindi $sum_{k=0}^9 3^(2k+1)= sum_{k=0}^9 3*9^k = 3 * sum_{k=0}^9 9^k$.
Ora, quanto fa $sum_{k=0}^9 9^k$?
Saprai senz'altro che $sum_{k=0}^N a^k= (a^(N+1)-1)/(a-1)$ (se $a!= 1$), dunque...[/quote]
quindi la formula è $sum_{k=0}^N a^k= (a^(N+1)-1)/(a-1)$ (se $a!= 1$) ?
ecco perchè non capivo, sul mio libro è indicata in questo modo: $sum_{k=0}^N a^k= (1- a^(N+1))/(1 - a)$ (se $a!= 1$)
così non cambia?! 1-9 è diverso da 9-1 o sbaglio?
"axpgn":
Premetto che ho seguito quella strada perché mi è sembrato che fosse quello che volevi, altrimenti lo sviluppo di Gi8 è quello più lineare, però prima di proseguire voglio chiederti se hai compreso quello che Gi8 ha scritto nel suo ultimo post, dove ci sono le due chiavi di interpretazione del problema, ok?
Cordialmente, Alex
nono non era la strada che volevo, ma comunque mi interessa sapere lo stesso il ragionamento che hai seguito, per impararlo. Comunque ho trovato in Gi8 la soluzione che cercavo, devo solo capire se il libro stesse sbagliando o sono io che ho le idee confuse
Le due formule danno lo stesso risultato.
Basta moltiplicare per $-1$ sia il numeratore, che il denominatore. E da una, passi all'altra.....
Basta moltiplicare per $-1$ sia il numeratore, che il denominatore. E da una, passi all'altra.....
"superpippone":
Le due formule danno lo stesso risultato.
Basta moltiplicare per $-1$ sia il numeratore, che il denominatore. E da una, passi all'altra.....
e perchè occorre moltiplicare per $-1$? se si lasciasse in questa forma $ sum_{k=0}^N a^k= (1- a^(N+1))/(1 - a) $ ?
Non ti ho detto che occorre moltiplicare per $-1$.
Ti ho detto che le due formule danno lo stesso risultato. E che per passare da una all'altra basta moltiplicare per $-1$.
Puoi lasciarla nella forma che più ti aggrada.......
Ti ho detto che le due formule danno lo stesso risultato. E che per passare da una all'altra basta moltiplicare per $-1$.
Puoi lasciarla nella forma che più ti aggrada.......
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