Piccolo esercizio gruppi
Ciao a tutti ragazzi, sono nuovo e mi presento! volevo chiedervi due piccoli aiutini riguardanti due esercizietti sui gruppi:
il primo chiede:
\(\displaystyle 1) \)Si consideri il gruppo \(\displaystyle \mathbb Z 75 = \mathbb Z /75 \mathbb Z \) , Stabilire quali sono gli insiemi \(\displaystyle {H,K} \) di sottogruppi non banali di \(\displaystyle \mathbb Z75 \) tali che \(\displaystyle H \bigcap K = { [0] } \)
Allora so che i sottogruppi di 75 sono i suoi divisori per il teorema di langance quindi sono :
<0> di ordine 1
<1> di ordine 75
<3> di ordine 25
<5> di ordine 15
<15> di ordine 5
<25> di ordine 3
ora non so come andare avanti
\(\displaystyle 2) \)il secondo esercizio dice:
Nel gruppo simmetrico \(\displaystyle \mathbb S_9 \) delle permutazioni su \(\displaystyle {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \) si consideri la permutazione \(\displaystyle a = (14)(23)(14)(49)(45)(54)(64)(71) \)
Si decomponga a nel prodotto di cicli a due a due disgiunti,inoltre determinare il sottogruppo di generato da a, elencandone gli elementi
Allora quì ho trovato il prodotto dei cicli ovvero se non sbaglio : (149)(23)?
poi per risponde alla domanda dei sottogruppi \(\displaystyle = { e, a, a^2 = (149)^2(23)} \) giusto?
il primo chiede:
\(\displaystyle 1) \)Si consideri il gruppo \(\displaystyle \mathbb Z 75 = \mathbb Z /75 \mathbb Z \) , Stabilire quali sono gli insiemi \(\displaystyle {H,K} \) di sottogruppi non banali di \(\displaystyle \mathbb Z75 \) tali che \(\displaystyle H \bigcap K = { [0] } \)
Allora so che i sottogruppi di 75 sono i suoi divisori per il teorema di langance quindi sono :
<0> di ordine 1
<1> di ordine 75
<3> di ordine 25
<5> di ordine 15
<15> di ordine 5
<25> di ordine 3
ora non so come andare avanti
\(\displaystyle 2) \)il secondo esercizio dice:
Nel gruppo simmetrico \(\displaystyle \mathbb S_9 \) delle permutazioni su \(\displaystyle {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \) si consideri la permutazione \(\displaystyle a = (14)(23)(14)(49)(45)(54)(64)(71) \)
Si decomponga a nel prodotto di cicli a due a due disgiunti,inoltre determinare il sottogruppo di generato da a, elencandone gli elementi
Allora quì ho trovato il prodotto dei cicli ovvero se non sbaglio : (149)(23)?
poi per risponde alla domanda dei sottogruppi \(\displaystyle = { e, a, a^2 = (149)^2(23)} \) giusto?
Risposte
Ciao, benvenuto!
Il sottogruppo $ $ dovrebbe essere diverso: come hai giustamente scritto tu, l'identità; poi:
la permutazione $ a $, ossia $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 9 ),( 4 , 3 , 2 , 9 , 1 ) ) $
la permutazione $ a^2 $, ossia $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 9 ),( 9 , 2, 3 , 1 , 4 ) ) $
Come vedi ora non torniamo ancora all'identità, perché hai due cicli disgiunti uno di periodo 3 e l'altro di periodo due. Allora il minimo periodo congiunto sarà il loro $ m.c.m. $,
la permutazione $ a^3 $, ossia $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 9 ),( 1 , 3, 2 , 4 , 9 ) ) $
la permutazione $ a^4 $, ossia $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 9 ),( 4 , 2, 3 , 9 , 1 ) ) $
la permutazione $ a^5 $, ossia $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 9 ),( 9 , 3, 2 , 1 , 4 ) ) $
Queste tre si aggiungono nel sottogruppo $ $.
Il sottogruppo $ $ dovrebbe essere diverso: come hai giustamente scritto tu, l'identità; poi:
la permutazione $ a $, ossia $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 9 ),( 4 , 3 , 2 , 9 , 1 ) ) $
la permutazione $ a^2 $, ossia $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 9 ),( 9 , 2, 3 , 1 , 4 ) ) $
Come vedi ora non torniamo ancora all'identità, perché hai due cicli disgiunti uno di periodo 3 e l'altro di periodo due. Allora il minimo periodo congiunto sarà il loro $ m.c.m. $,
la permutazione $ a^3 $, ossia $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 9 ),( 1 , 3, 2 , 4 , 9 ) ) $
la permutazione $ a^4 $, ossia $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 9 ),( 4 , 2, 3 , 9 , 1 ) ) $
la permutazione $ a^5 $, ossia $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 9 ),( 9 , 3, 2 , 1 , 4 ) ) $
Queste tre si aggiungono nel sottogruppo $ $.
Perfetto, chiaro, e invece per l'esercizo 1 sai come impostarlo? Perchè io non ho la minima idea...
Per l'altro noto che $ <3> $ non ha intersezioni non banali con $ <25> $ e idem per $ <15> $. Tutti gli altri sono divisori o multipli dei generatori, perciò le intersezioni non possono essere banali.
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