Piccolo dubbio sulle dimostrazioni

marco9551
Ho il seguente quesito di semplice esecuzione:
Sia $S$ un insieme non vuoto, e si ponga $G={(X,Y)inP(S)^2|X nn Y=O/}$.
Provare che la relazione binaria $(P(S)^2,G)$ in $P(S)$ non è nè riflessiva nè transitiva.

Adesso mi chiedo, se ,per dimostrare la non riflessività, prendo in considerazione l'insieme $S$ anzichè un generico sottoinsieme non vuoto in $S$ ,e per dimostrare la non transitività prendo in considerazione lo stesso insieme $S$ e l'insieme vuoto, la dimostrazione è comunque corretta? Cambia qualcosa da un punto di vista formale?. Se non mi fossi spiegato bene, scrivo la mia dimostrazione in basso:

Consideriamo l'insieme $S$ in $P(S)$. La coppia $(S,S)$ in $P(S)^2$ non appartiene a $G$ in quanto $SnnS=S!=O/$, sicchè $(P(S)^2,G) $non è riflessiva. Poichè inoltre le coppie $(S,O/)$ e $(O/,S)$ di $P(S)^2$ sono entrambe elementi di $G$, in quanto $SnnO/=O/nnS=O/$ ma la coppia $(S,S)$ non vi appartiene, segue che $(P(S)^2,G)$ non è neanche transitiva.

Risposte
kobeilprofeta
Una relazione è riflessiva se esiste sempre l'elemento $(w,w) AA w$, quindi se ogni $w $ è in relazione con sé stesso. Ma questo è ovviamente non vero (nel tuo caso) per ogni insieme non vuoto. Sia infatti $W $ non vuoto. Allora $W $intersecato $W $sarà uguale a $W $stesso, che non è vuoto. Quindi W non è in relazione con sé stesso. Quindi la relazione non è riflessiva.

marco9551
Grazie kobeilprofeta per la risposta.
Io ho ragionato in questo modo partendo dalla seguente definizione:
Una relazione binaria \( \Re \) di grafico $G$ in un insieme non vuoto $S$ si dice riflessiva, se $x$\( \Re \)$x$ (che è equivalente a dire che $(x,x) in G$) qualunque sia l'elemento $x$ di $S$
In simboli:
\( \Re \)$=(S^2,G)$ è riflessiva $<=> AAx in S, (x,x) in G$

A maggior ragione negando queste due proposizioni si ha:
\( \Re \)$=(S^2,G)$ non è riflessiva $<=> EEx in S| (x,x) notin G$

Nel mio esempio devo dimostrare che la relazione binaria in $P(S)$ e di grafico $G$, cioè $(P(S)^2,G)$ non è riflessiva. Quindi secondo quanto detto devo trovare un elemento $X$ di $P(S)$ tale che $(X,X) notinG$ e quindi sia $XnnX!=O/$. La mia domanda ora è: va bene se per il mio controesempio scelgo come elemento di $P(S)$ l'insieme $S$ (che per ipotesi è non vuoto)? Oppure dovrei utilizzare un generico sottoinsieme $X$ non vuoto di S(che esiste sicuramente in quanto $S$ è non vuoto)? Secondo il ragionamento fatto sopra sembrerebbe sensato scegliere $S$, tuttavia vorrei una conferma. La stessa domanda riguarda anche il caso della non transitività.

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