Piccolo dubbio sulla definizione di un insieme
Secondo voi è corretto definire un sottoinsieme di $X=S(RR^2)$ (bigezioni del piano in sé) come:
$A={T_v in X$ tale che $T_v$ è una traslazione di vettore $v}$
per intendere il sottoinsieme di tutte le traslazioni?
E poi dire anche che $A$ è un sottogruppo di $X$?
No, perché l'ho trovato sugli appunti scritti da un professore. (insieme ad altri errori o inesattezze, peraltro)
$A={T_v in X$ tale che $T_v$ è una traslazione di vettore $v}$
per intendere il sottoinsieme di tutte le traslazioni?
E poi dire anche che $A$ è un sottogruppo di $X$?
No, perché l'ho trovato sugli appunti scritti da un professore. (insieme ad altri errori o inesattezze, peraltro)
Risposte
Non ho capito il primo dubbio. Vuoi sapere se ha senso dire che l'insieme di tutte (e sole!) le traslazioni è sottoinsieme di quello di tutte (e sole) le bigezioni in $\mathbb{R}^2$? Sì, perché ogni traslazione è una bigezione $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$.
Per la seconda domanda. Se ti riferisci alla composizione $\circ$ come operazione, sì. Presa infatti una traslazione $T_v$, la funzione $T_{-v}$ è una traslazione ed è l'inversa di $T_v$. Inoltre, prese due traslazioni $T_u$ e $T_v$, si ha $T_u \circ T_v = T_{u+v}$, e quindi anche $T_u \circ T_v$ è una traslazione.
Detto in maniera brutale.
Per la seconda domanda. Se ti riferisci alla composizione $\circ$ come operazione, sì. Presa infatti una traslazione $T_v$, la funzione $T_{-v}$ è una traslazione ed è l'inversa di $T_v$. Inoltre, prese due traslazioni $T_u$ e $T_v$, si ha $T_u \circ T_v = T_{u+v}$, e quindi anche $T_u \circ T_v$ è una traslazione.
Detto in maniera brutale.
No, non hai capito la domanda che ho posto. Sto chiedendo se è corretto definire il sottogruppo di tutte le traslazioni in quel modo. A me sembra che, detto così, è il sottoinsieme che comprende la traslazione di vettore v e basta. Che ovviamente non è un sottogruppo.
Anche dire che $T_v$ è UNA traslazione di vettore v... Perché "una"? Quante traslazioni di vettore v ci sono?
Anche dire che $T_v$ è UNA traslazione di vettore v... Perché "una"? Quante traslazioni di vettore v ci sono?
Mmmh, penso di aver capito. Stai chiedendo sul modo di definire. A me sembra che $A$ invece indichi l'insieme di tutte e sole le traslazioni di un vettore $v$, con $v$ che varia su un insieme di vettori (in questo caso $\mathbb{R}^2$). Però sì, adesso che me lo fai notare, potrebbe essere ambiguo. Prova a ricostruire il contesto, cita la parte da cui proviene quella definizione di $A$.
non c'è altro prima di quello che ho scritto, è esattamente come l'ho scritto. Si capisce che cosa vuol dire chi l'ha scritto,certo, è una cosa molto semplice. Ma sto criticando quella che a me sembra un'inesattezza nella scrittura. Ad esempio, $T_(v+v)$ sta in quell'insieme? No, perché non è "una" traslazione di vettore v.
Avrebbe dovuto dire, ad es: dato $vinRR^2$, sia $T_v$ la traslazione di vettore v (e dare def precisa). Sia $A={T_x|x inRR^2}$, è un sottogruppo perché ecc ecc.
Avrebbe dovuto dire, ad es: dato $vinRR^2$, sia $T_v$ la traslazione di vettore v (e dare def precisa). Sia $A={T_x|x inRR^2}$, è un sottogruppo perché ecc ecc.
Direi che $A:=\{ T_v,\ v in RR^2\}$ sia un po' più appropriata come scrittura (dopo aver definito il simbolo $T_v$)... Ma è chiaro che se uno scrive velocemente non sempre guarda allo stile.
Anche per questo si studia dai libri, non da appunti.
Anche per questo si studia dai libri, non da appunti.
Ho l'impressione che l'unico problema in questo thread sia che quando tu leggi "una traslazione" pensi che sia "una sola". Non è così: alla rappresentazione intensiva di un insieme nella forma \(\{x\mid \lambda(x) \}\), dove $\lambda$ è una proprietà, va preposta una quantificazione universale: stai considerando TUTTI gli x tali che $\lambda(x) $.
Il problema non è che quando leggo "una" penso a "una sola",anzi, penso proprio il contrario! E cioè che, per come è scritta quella cosa, si intenda che ci sono più traslazioni di vettore v, cosa assurda se non si dice che v varia all'interno di un insieme.
È diverso dire "sia $T_v$ una traslazione" da "sia $T_v$ LA (e non una) traslazione di vettore v".
Io ho capito cosa intende chi scrive, per carità, sto chiedendo solo se è corretto scriverlo anche in quel modo con cui lo ha scritto, ed eventualmente il perché.
$A={T_v in X : T_v$ è una traslazione di vettore $v$}
Chi è questo insieme? È l'insieme delle traslazioni o è l insieme ${T_v}$ costituito da un solo elemento? È corretto dire che è un sottogruppo?
Sì/no e perché.
Ah, bella la teoria che "uno scrive velocemente, quindi per forza male, quindi devi studiare sui libri" (peraltro sono appunti scritti al computer, quindi un minimo di scrittura rigorosa uno se la aspetta. A me viene da pensare che chi ha scritto non si sia posto manco il problema di ciò che stava scrivendo, pur volendo dare alla sua scrittura una qualche parvenza di matematichese, perché per essere rapidi bastava dire $A={T:T$ è una traslazione} E sarebbe stato corretto.
È diverso dire "sia $T_v$ una traslazione" da "sia $T_v$ LA (e non una) traslazione di vettore v".
Io ho capito cosa intende chi scrive, per carità, sto chiedendo solo se è corretto scriverlo anche in quel modo con cui lo ha scritto, ed eventualmente il perché.
$A={T_v in X : T_v$ è una traslazione di vettore $v$}
Chi è questo insieme? È l'insieme delle traslazioni o è l insieme ${T_v}$ costituito da un solo elemento? È corretto dire che è un sottogruppo?
Sì/no e perché.
Ah, bella la teoria che "uno scrive velocemente, quindi per forza male, quindi devi studiare sui libri" (peraltro sono appunti scritti al computer, quindi un minimo di scrittura rigorosa uno se la aspetta. A me viene da pensare che chi ha scritto non si sia posto manco il problema di ciò che stava scrivendo, pur volendo dare alla sua scrittura una qualche parvenza di matematichese, perché per essere rapidi bastava dire $A={T:T$ è una traslazione} E sarebbe stato corretto.
Ti va bene questa definizione di $A$? \[A:=\{X | \exists v \in \mathbb{R}^2 : X=T_v\}\]
"Gary_Baldi":
Ah, bella la teoria che "uno scrive velocemente, quindi per forza male, quindi devi studiare sui libri" (peraltro sono appunti scritti al computer, quindi un minimo di scrittura rigorosa uno se la aspetta. A me viene da pensare che chi ha scritto non si sia posto manco il problema di ciò che stava scrivendo, pur volendo dare alla sua scrittura una qualche parvenza di matematichese, perché per essere rapidi bastava dire $A={T:T$ è una traslazione} E sarebbe stato corretto.
Non è una teoria... È proprio così.
I libri sono revisionati molte più volte e da persone differenti, mentre un fascicolo di appunti è revisionato meno volte e sempre dalla stessa persona; ciò comporta che gli errori o le sviste o i cambiamenti di notazione da un capitolo all’altro sono molto più frequenti in appunti, rispetto ai libri.
D’altra parte, ciò non è un fenomeno nuovo: pensa a quante volte, rivedendo lo svolgimento di un esercizio, ti capita di sbagliare sempre lo stesso passaggio e di non correggere l’errore che ti porta ad una soluzione errata; poi vieni a chiedere lumi qui sul forum ed il primo utente che passa ti fa notare quel che non avevi visto.
Dunque, a parte prendere atto di questo fatto, ciò che sarebbe giusto fare non è lamentarsi della qualità degli appunti, ma contribuire al loro miglioramento segnalando eventuali errori od inesattezze al docente.
sto chiedendo solo se è corretto scriverlo anche in quel modo con cui lo ha scritto, ed eventualmente il perché.
Sì, è perfettamente corretto senza aggiungere altro: l'azione del gruppo delle traslazioni del piano è fedele, quindi se $T_v=T_w$ allora $v=w$.
È l'insieme delle traslazioni o è l insieme ${T_v}$ costituito da un solo elemento?
Questi due insiemi si parsano in modo diverso, non esiste modo di confonderli se ti attieni alla notazione convenzionale.
È corretto dire che è un sottogruppo?
Certo; è isomorfo al gruppo \((\mathbb R^2, +)\).
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