Piccolo dubbio sui gruppi ciclici

[s.capone7]

Ciao ragazzi, ho un dubbio riguardante i gruppi ciclici.

Io so, in generale, che un gruppo definito in $ZZ_n$ x $ZZ_m$ è ciclico se e solo se il M.C.D.(n, m)=1:

Prendiamo ora il gruppo $ZZ_7-{0}$ x $ZZ_2$ con la legge di composizione interna (ac, b+d), seppur il M.C.D.(7,2)=1 il gruppo non è ciclico, infatti non esiste un generatore.

Quindi quello che mi chiedo è: quando vale quella la formula del MCD? Dipende dalla legge di composizione interna? O quando si considera un insieme senza lo 0 il discorso non vale?

[otta96]

Ma il primo fattore non è ciclico di ordine $7$, ma di ordine $6$ perché hai tolto lo $0$ e lo consideri dal punto di vista moltiplicativo.

[s.capone7]

"otta96":Ma il primo fattore non è ciclico di ordine $7$, ma di ordine $6$ perché hai tolto lo $0$ e lo consideri dal punto di vista moltiplicativo.

Quindi la formula la si considera con l'ordine degli insiemi? Non è il massimo comune divisore fra i due moduli ma fra quanti elementi contengono?

[otta96]

Eh si perché va considerata a classe di isomorfismo del gruppo ciclico, è come se si fosse considerato $ZZ//6ZZ$ additivo (il modo standard di considerare un gruppo ciclico) al posto di $ZZ//7ZZ\setminus{0}$ perché sono isomorfi.