Piccolo dubbio su esercizio sui gruppi.

[Sandruz1]

Salve a tutti ragazzi, avrei un piccolo dubbio riguardo questo esercizio:

Si determini l'insieme $H$ degli elementi invertibili del monoide $(Z_16)$. Si provi che $H$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione e che $(H,.)$ è un gruppo. Si calcoli il periodo di ogni elemento di $(H,.)$ e si deduca che $H$ è ciclico.

Allora, ho trovato $H={1,3,5,7,9,11,13,15}$ ossia tutti gli elementi invertibili "$MCD(n,16) =1$
Adesso viene il dubbio, ho provato che è chiuso per la moltiplicazione moltiplicando tutti gli elementi tra loro e verificando che il risultato sia ancora elemento di H

Es:

$3*1=3$
$3*3=9$
$3*5=15$
$3*7=5$
$3*9=11$
$3*11=1$
$3*13=7$
$3*15=13$

$<[3]_16> = Z_16$
$3$ è un generatore $H$ è ciclico.

Però mi sono ricordato che per la moltiplicazione dovrei fare le potenze, ricordo male? E se si come faccio a fare le potenze di tutti i numeri in poco tempo? Esiste un metodo per vedere da subito se H è chiuso per la moltiplicazione?

Poi l'esercizio chiede di provare che H è gruppo, ma come dimostro che (a*b)*c=a*(b*c)? Voglio dire, è banale.

Insomma ho qualche dubbio qua e la.

[Studente Anonimo]

[mod="Martino"]Ciao, ti chiederei di mettere un titolo che specifichi l'argomento. Grazie.[/mod]

[Sandruz1]

Ragazzi un aiutino?

[Studente Anonimo]

"Sandruz":Però mi sono ricordato che per la moltiplicazione dovrei fare le potenze, ricordo male? E se si come faccio a fare le potenze di tutti i numeri in poco tempo? Esiste un metodo per vedere da subito se H è chiuso per la moltiplicazione?

L'insieme degli elementi invertibili di un monoide è chiuso per la moltiplicazione. Infatti detto $U$ tale insieme, se $a$ e $b$ sono invertibili (cioè stanno in $U$) allora detti $a^{-1}$ e $b^{-1}$ i loro inversi si ha $(ab)(b^{-1}a^{-1}) = (b^{-1}a^{-1})(ab) = 1$ e quindi $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$. Segue che $ab in U$. [Questo è un argomento noto].

Quanto alla proprietà associativa, vale nel monoide quindi vale in particolare in $U$.

[Angelo210]

Perché dite che $H$ sia ciclico? Non c'è alcun elemento di periodo 8.

$O(3)=O(5)=O(11)=O(13)=4$
$O(7)=O(9)=O(15)=2$

[Studente Anonimo]

"Angelo":Perché dite che $H$ sia ciclico? Non c'è alcun elemento di periodo 8.

Sì, tra l'altro bastava osservare che c'erano due elementi con lo stesso ordine (per esempio 9 e 15).

Per un discorso generale può essere utile guardare qui.

[Sandruz1]

Potreste spiegare meglio dove è l'errore?? E sopratutto ancora nessuno mi ha detto se quello che ho fatto sta bene. Oggi ho fatto il compito, meno male che non ci stavano tracce con le classi.

[Angelo210]

In $ZZ_8$ c'è un solo elemento di periodo 2 ( $O(4)=2$ ), di conseguenza, in OGNI gruppo ciclico di ordine 8 c'è SOLO UN elemento di periodo 2. Invece in $H$ ci sono diversi elementi di periodo 2 (addirittura tre), ragion per cui $H$ non può essere ciclico.

Questo però non vuol dire che se ci sono elementi con lo stesso periodo, allora il gruppo non è ciclico.

Infatti in $ZZ_8$ ci sono due elementi di periodo 4 e cioè 2 e 6, malgrado la ciclicità.

[Studente Anonimo]

Scusatemi, parlavo di elementi ma pensavo ai sottogruppi.

Quello che volevo dire può essere espresso così: se in $G$ ci sono più di $\varphi(n)$ elementi di ordine $n$ per qualche $n$ allora $G$ non è ciclico. Per esempio, se ci sono almeno due elementi di ordine 2 allora il gruppo non è ciclico.

[j18eos]

Il periodo [tex]p[/tex] di un elemento [tex]x^m[/tex] in un gruppo ciclico [tex]\mathbb{Z}_n[/tex] è [tex]p=\frac{m.c.m.(m;n)}{m}[/tex].
Se trovi elementi distinti con medesimo periodo in un gruppo generico allora esso non è ciclico come hanno già detto gli altri.

[Studente Anonimo]

"j18eos":Se trovi elementi distinti con medesimo periodo in un gruppo generico allora esso non è ciclico come hanno già detto gli altri.

No, questo l'avevo detto io ma è falso, mi sono sbagliato, come ha osservato Angelo. La cosa vera è che se c'è più di un elemento di ordine 2 (o più in generale più di [tex]\varphi(n)[/tex] elementi di ordine n per qualche n) allora il gruppo non è ciclico.