Piccolo dubbio elementi di un insieme

[jigen45]

Buongiorno, ho un piccolo dubbio relativo agli elementi di un insieme: sia $ B = {1} $ e sia $ A = {1, 2} $ ed indichiamo con $ P(A) $ l'insieme delle parti di $ A $. Fissiamo un elemento $ a_1 in A $. Allora considero due sottoinsiemi di $ P(A) $:

$ C = {B in P(A) : a_1 in B} $ (qui veramente c'era scritto B simbolo di appartenenza "specchiato" a1, però ho provato ad inserirlo andando su aggiungi formula>relazioni ma mi da' il simbolo di non appartenenza, vi consiglio di dargli un'occhiata per vedere se sbaglio)

$ D = {B in P(A) : a_1 !in B} $ (stesso discorso di prima, in realtà c'era scritto B non appartiene "specchiato" a1)

Volevo capire quali sono gli elementi dei due insiemi. Non riesco a capire la legge di appartenenza degli elementi di $ C $ e di $ D $ . Grazie in anticipo!

[anaiss1]

Non capisco cosa vuol dire la definizione dei due insiemi... $ C $ è l 'insieme di tutte le $ B $ tali che hanno una certa proprietà, ma $ B $ è già definito come $ {1} $.

[gugo82]

Forse è scritto:
\[
\begin{split}
C &:= \{ B\in \mathcal{P}(A):\ B\ni a_1\}\\
D &:= \{ B\in \mathcal{P}(A):\ B\not\ni a_1\}
\end{split}
\]
ma, ad ogni buon conto, l'interpretazione dei simboli data di anaiss è quella corretta.

[jigen45]

Scusate avete ragione era per fare un esempio... sarebbe per ogni $ B $ tale che $ |B| = n $ e sia $ |A| = n + 1 $ .. Quindi quando si parla di $ B $ non si parla di un insieme specifico, ma di tutti gli insiemi che hanno cardinalità $ n $ ?

P.S. gugo82 forse l'hai scritta usando LaTeX, perché in ASCIIMathML mi da' quell'errore...

[garnak.olegovitc1]

@jigen45,

"jigen45":Scusate avete ragione era per fare un esempio... sarebbe per ogni $ B $ tale che $ |B| = n $ e sia $ |A| = n + 1 $ .. Quindi quando si parla di $ B $ non si parla di un insieme specifico, ma di tutti gli insiemi che hanno cardinalità $ n $ ?

P.S. gugo82 forse l'hai scritta usando LaTeX, perché in ASCIIMathML mi da' quell'errore...

dato che quantifichi, allora \( B \) è variabile? Se si, perchè non usi un'altra lettera!?

Saluti

[jigen45]

Boh, io ho copiato tutto dal libro.. dice per ogni insieme $ B $ di $ n $ elementi con $ n >= 0 $ sia $ |P(B)| $ e poi quello che ho già scritto... quindi per $ B $ si intende un qualsiasi insieme di $ n $ elementi? Nell'esempio che ho fatto prima ( $ B = {1} $ ed $ A = {1, 2} $) non ho capito bene quali elementi conterrebbero $ C $ e $ D $, che sono sottoinsiemi di $ P(A) $

[jigen45]

ovviamente sia $ |P(B)| = 2^n $

[anaiss1]

"jigen45":Boh, io ho copiato tutto dal libro.. dice per ogni insieme $ B $ di $ n $ elementi con $ n >= 0 $ sia $ |P(B)| $ e poi quello che ho già scritto... quindi per $ B $ si intende un qualsiasi insieme di $ n $ elementi? Nell'esempio che ho fatto prima ( $ B = {1} $ ed $ A = {1, 2} $) non ho capito bene quali elementi conterrebbero $ C $ e $ D $, che sono sottoinsiemi di $ P(A) $

Gli elementi di $ C $ e $ D $ non dovrebbero essere elementi di $ P(A) $ , e quindi sottoinsiemi di $ A $?
In questo caso praticamente avresti che $ A $ è un certo insieme, $ B $ è un qualsiasi sottoinsieme di $ A $ tale che prende tutti i suoi elementi tranne uno.
Allora $ D $, per ogni elemento $ a $ di $ A $, ti dà esattamente quel sottoinsieme di $ A $ che fa rimanere fuori solo $ a $, mentre $ C $ è il suo complementare (rispetto a $ P(A) $)
Ma qual è la domanda esattamente? Sembrerebbe più che altro la premessa per un problema

[jigen45]

CIao anaiss, grazie per la risposta!! No, c'è scritto testualmente: "Si fissi un elemento $ a_1 in A $. In $ P(A) $ consideriamo i due sottoinsiemi $ C $ e $ D $ ... "
La mia domanda è: quali elementi contengono esattamente $ C $ e $ D $ ?
A tal proposito, nella legge di appartenenza degli elementi relativi a questi due insiemi, per $ B $ ci si riferisce ad un qualsiasi insieme di $ n $ elementi oppure ad un insieme specifico?

[anaiss1]

A me sembrerebbe che B non debba essere un sottoinsieme specifico, ma appunto qualsiasi sottoinsieme che lascia fuori uno e un solo elemento di A, quindi per ogni insieme A con cardinalità $ n $ ci sarebbero $ n $ sottoinsiemi che soddisfano le condizioni per B

[jigen45]

Ok, su questo ci sono. Ma quindi $ C $ e $ D $ non sono formati soltanto da sottoinsiemi i quali hanno $ n $ elementi (con $ |B| = n $) ?

[anaiss1]

Da quello che ho capito sia gli elementi di $ C $ che quelli di $ D $ hanno tutti cardinalità $ n $

[jigen45]

No, alla fine risulta che hanno entrambi cardinalità $ 2^n $ Appunto per questo, mi chiedevo nell'esempio di cui sopra da quali elementi (insiemi) sono formati..

[jigen45]

Credo di aver risolto il problema. $ C $ e $ D $ sono sottoinsiemi di $ P(A) $ e in particolare $ D = P(A - {a_1}) $ con cardinalità $ 2^n $. Inoltre, per ogni $ B in C $ , risulta: $ B = B_1 uu {a_1} $,
con $ B_1 in P(A − {a1}) $. Ovviamente gli insiemi $ B $ sono tanti quanti gli insiemi $ B_1 $, pertanto $ |C| = 2^n $. D'altronde, per il principio della somma, $ |P(A)| = |C| + |D| $.