Piccola difficoltà col teorema dei numeri primi
Nella dimostrazione di Newman del teorema dei numeri primi, il terzo passo consiste nel dimostrare che $\theta(x) = \sum_{p<=x} log(p) = O(x)$
Il ragionamento del teorema è il seguente:
Per ogni $n \in NN$ si ha $2^{2n} >= e^{\theta(2n) - \theta(n)}$
e dunque, dato che $\theta(x)$ cambia come $O(log(x))$ se $x$ cambia come $O(1)$,
se ne deduce che $\theta(x) - \theta(x/2) <= Cx$ per ogni $C>log 2$ ed ogni $x>= x_0(C)$.
...
eccetera eccetera.
Io non capisco perché da quelle due informazioni se ne deduce che $\theta(x) - \theta(x/2) <= Cx$
E' vero che se prendo il logaritmo da entrambe le parti della prima disequazione ottengo
$\theta(2n) -\theta(n) <= log(2) 2n$
ed è intuitivo che posso dividere per 2 dicendo che
$\theta(n) -\theta(n/2) <= log(2) n$
Ed è ancora intuitivo che posso dire che questo non vale solo per gli n interi, ma anche per x reale.
Ma non ho capito come l'ha formalizzato.
In particolare non ho capito a cosa serve l'informazione che $\theta(x+1)-\theta(x)<=log(x+1)<=C log(x)$
Qualunque tipo di chiarimento è gradito. Grazie!
Il ragionamento del teorema è il seguente:
Per ogni $n \in NN$ si ha $2^{2n} >= e^{\theta(2n) - \theta(n)}$
e dunque, dato che $\theta(x)$ cambia come $O(log(x))$ se $x$ cambia come $O(1)$,
se ne deduce che $\theta(x) - \theta(x/2) <= Cx$ per ogni $C>log 2$ ed ogni $x>= x_0(C)$.
...
eccetera eccetera.
Io non capisco perché da quelle due informazioni se ne deduce che $\theta(x) - \theta(x/2) <= Cx$
E' vero che se prendo il logaritmo da entrambe le parti della prima disequazione ottengo
$\theta(2n) -\theta(n) <= log(2) 2n$
ed è intuitivo che posso dividere per 2 dicendo che
$\theta(n) -\theta(n/2) <= log(2) n$
Ed è ancora intuitivo che posso dire che questo non vale solo per gli n interi, ma anche per x reale.
Ma non ho capito come l'ha formalizzato.
In particolare non ho capito a cosa serve l'informazione che $\theta(x+1)-\theta(x)<=log(x+1)<=C log(x)$
Qualunque tipo di chiarimento è gradito. Grazie!
Risposte
"boulayo":
Nella dimostrazione di Newman del teorema dei numeri primi, il terzo passo consiste nel dimostrare che $\theta(x) = \sum_{p<=x} log(p) = O(x)$
Quando ero alle prese con la tesi (sulla RH), dissi al mio relatore che mi sarebbe piaciuto riportare in un appendice una dimostrazione - anche collage tra più fonti - del teorema dei numeri primi.
Trovai subito quella di Newman in giro, ma dopo avermela studiata a lungo la mia impressione fu che l'autore se la faceva riportare: ovviamente questa è l'impressione "mia", quindi di un appassionato di teoria dei numeri (quindi non di un tecnico).
Quindi alla tua domanda non so rispondere, però, sull'Hardy-Wright, An introduction to the theory of numbers, alle pagg. 340-342 circa (in realtà è un po' confusionario il discorso, ma riordinando le idee viene un bel filo logico) si trovano le dimostrazioni di
- $\vartheta(n)<2n log(2)$
- $n! = \prod_(p, \text{primo}) p^(j(n,p))$ dove $j(n,p)$ è uno sgorbio che non riscrivo e questa cosa sta da un'altra parte dell'H-W
- $\vartheta(x)>Bx$ con $B$ costante reale positiva
... dal primo e terzo risultato si deduce $\vartheta(n)=O(n)$ e per la $\psi(n)$ vale uguale dato che c'è una relazione che lega strettamente le due funzioni.
Ok, ho visto il libro di Hardy e quel ragionamento mi è abbastanza chiaro, e mi è ancora più chiaro quello che ho trovato qui: http://www.maths.ed.ac.uk/~chris/NTh/Ch ... esults.pdf
tuttavia volevo proprio capire come mai dal fatto che "$\theta(x)$ cambia come $O(log(x))$ se x cambia come O(1)", venga direttamente implicato che $\theta(x) -\theta(x/2) <= Cx$
L'articolo a cui mi riferisco è questo
http://mathdl.maa.org/images/upload_lib ... Zagier.pdf
tuttavia volevo proprio capire come mai dal fatto che "$\theta(x)$ cambia come $O(log(x))$ se x cambia come O(1)", venga direttamente implicato che $\theta(x) -\theta(x/2) <= Cx$
L'articolo a cui mi riferisco è questo
http://mathdl.maa.org/images/upload_lib ... Zagier.pdf
"boulayo":
L'articolo a cui mi riferisco è questo
http://mathdl.maa.org/images/upload_lib ... Zagier.pdf
Lo trovai anche io qui, ma infatti ci ho rinunciato a capirlo a fondo dopo essermelo studiato per bene (quindi non ho una risposta concreta). Ti ho segnalato l'altro solo perché se ti serviva la dimostrazione in generale, ti davo un'alternativa.
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