Permutazioni: prodotto di cicli a due a due disgiunti.
Buon giorno a tutti.
La difficoltà stavolta riguarda un esempio - presente sul libro dove studio - in cui viene presentato il prodotto di cicli a due a due disgiunti.
Testo:
Siano $t$ e $s$ $ in S_6 $, $ s = ( 1 5 ) ( 2 4 3 ) $, $ t = ( 2 5 6 ) ( 3 4 ) $. Allora $ st = ( 1 5 ) ( 2 4 3 ) ( 2 5 6 ) ( 3 4 ) $.
Possiamo interpretare questa scrittura come prodotto di quattro permutazioni cicliche da eseguire una dopo l'altra cominciando dall'ultima. Ricordiamo che ogni ciclo manda ciascuno dei suoi elementi nel successivo ( l'ultimo nel primo ) e lascia fissi gli elementi che non compaiono. Partendo di nuovo da $ 1 $ si ha:
$ 1 rarr 1 rarr 1 rarr 1 rarr 5 $
Dunque uno dei clicli di $ st $ comincerà con $ ( 1 5 ... ) $.
Per continuare a scrivere questo ciclo dobbiamo conoscere l'immagine di $ 5 $.
$ 5 rarr 5 rarr 6 rarr 6 rarr 6 $.
Dunque il ciclo continua $ ( 1 5 6 ... ) $. Alla fine avremo
$ st = ( 1 5 6 4 2 ) ( 3 ) = ( 1 5 6 4 2 ).
Quello che non mi è chiaro è il passaggio che mi porta a trovare il quarto elemento della permutazione, ovvero il $ 4 $.
C'è qualcuno che può darmi spiegazioni?
Grazie a tutti - in anticipo - per le eventuali risposte.
La difficoltà stavolta riguarda un esempio - presente sul libro dove studio - in cui viene presentato il prodotto di cicli a due a due disgiunti.
Testo:
Siano $t$ e $s$ $ in S_6 $, $ s = ( 1 5 ) ( 2 4 3 ) $, $ t = ( 2 5 6 ) ( 3 4 ) $. Allora $ st = ( 1 5 ) ( 2 4 3 ) ( 2 5 6 ) ( 3 4 ) $.
Possiamo interpretare questa scrittura come prodotto di quattro permutazioni cicliche da eseguire una dopo l'altra cominciando dall'ultima. Ricordiamo che ogni ciclo manda ciascuno dei suoi elementi nel successivo ( l'ultimo nel primo ) e lascia fissi gli elementi che non compaiono. Partendo di nuovo da $ 1 $ si ha:
$ 1 rarr 1 rarr 1 rarr 1 rarr 5 $
Dunque uno dei clicli di $ st $ comincerà con $ ( 1 5 ... ) $.
Per continuare a scrivere questo ciclo dobbiamo conoscere l'immagine di $ 5 $.
$ 5 rarr 5 rarr 6 rarr 6 rarr 6 $.
Dunque il ciclo continua $ ( 1 5 6 ... ) $. Alla fine avremo
$ st = ( 1 5 6 4 2 ) ( 3 ) = ( 1 5 6 4 2 ).
Quello che non mi è chiaro è il passaggio che mi porta a trovare il quarto elemento della permutazione, ovvero il $ 4 $.
C'è qualcuno che può darmi spiegazioni?
Grazie a tutti - in anticipo - per le eventuali risposte.
Risposte
allora non ti è nemmeno chiaro come hai trovato gli elementi prima, perchè è esattamente lo stesso modo.
cerchi l'immagine di $6$ e viene $4$ ( non ho controllato i calcoli, mi fido che siano giusti quelli riportati).
cerchi l'immagine di $6$ e viene $4$ ( non ho controllato i calcoli, mi fido che siano giusti quelli riportati).
Gli altri sono riusciti a seguirli, ma da quello che sono riuscito a fare, l'immagine di $ 6 $ non mi viene $ 4 $.
Guarda che il [tex]$6$[/tex] va nel [tex]$4$[/tex] in quanto [tex]$6^{st}=(6^t)^s=2^s=4$[/tex]!
P.S.: Ma si capisce la notazione esponenziale?
EDIT: Corretto; come al solito grazie a Martino!
P.S.: Ma si capisce la notazione esponenziale?
EDIT: Corretto; come al solito grazie a Martino!
"j18eos":Osserva che la notazione di lezan è opposta alla tua:
Guarda che l'[tex]$1$[/tex] va nel [tex]$6$[/tex] in quanto [tex]$1^{st}=(1^s)^t=5^t=6$[/tex]!
"lezan":@lezan: il terzo ciclo manda 6 in 2, il secondo ciclo manda 2 in 4, quindi la composizione manda 6 in 4 perché [tex]6 \mapsto 2 \mapsto 4[/tex].
permutazioni cicliche da eseguire una dopo l'altra cominciando dall'ultima
Ah ecco cosa sbagliavo.
Io mi fermavo a $ 6 rarr 2 $ e non facevo la composizione con $ 2 rarr 4 $.
Quindi prima di fermarmi devo controllare tutti i cicli. Mi mancava questa parte, e con gli altri due elementi avevo avuto fortuna dato che non erano più presenti.
Speriamo di aver tutto chiaro e di riuscire negli esercizi.
Grazie a tutti!
Io mi fermavo a $ 6 rarr 2 $ e non facevo la composizione con $ 2 rarr 4 $.
Quindi prima di fermarmi devo controllare tutti i cicli. Mi mancava questa parte, e con gli altri due elementi avevo avuto fortuna dato che non erano più presenti.
Speriamo di aver tutto chiaro e di riuscire negli esercizi.
Grazie a tutti!
Era anche un mio errore iniziale.
Prego, di nulla!
Prego, di nulla!
Mi sa che il procedimento non mi è molto chiaro, perché sono andato a fare un'altro esercizio di questo genere e non mi sono molto ritrovato.
Allora il testo è questo:
Sia $ t = ( 1425)(126)(4315) in S_6. $ Scrivere $ t $ come prodotto di cicli disgiunti e dire se $ t $ è pari o dispari.
Io ho fatto in questo modo:
Sono partito da $ 1 $.
$ 1 rarr 5 rarr 5 rarr 1 $. Quindi mi viene un ciclo (1).
$ 2 rarr 2 rarr 6 .. $ e qui mi blocco.
Il secondo ciclo mi porta $ 2 $ in $ 6 $ però questo non è niente, e visto che deve venire un ciclo mi sono detto "forse - sempre con il secondo ciclo - $ 6 rarr 1 $ e poi il terzo $ 1 rarr 4 $ e per il terzo $ 4 rarr 3 $. E poi boh.
Come vedete sono ancora molto confuso e non ci sto capendo quasi nulla.
Che testa, mamma mia..
Allora il testo è questo:
Sia $ t = ( 1425)(126)(4315) in S_6. $ Scrivere $ t $ come prodotto di cicli disgiunti e dire se $ t $ è pari o dispari.
Io ho fatto in questo modo:
Sono partito da $ 1 $.
$ 1 rarr 5 rarr 5 rarr 1 $. Quindi mi viene un ciclo (1).
$ 2 rarr 2 rarr 6 .. $ e qui mi blocco.
Il secondo ciclo mi porta $ 2 $ in $ 6 $ però questo non è niente, e visto che deve venire un ciclo mi sono detto "forse - sempre con il secondo ciclo - $ 6 rarr 1 $ e poi il terzo $ 1 rarr 4 $ e per il terzo $ 4 rarr 3 $. E poi boh.
Come vedete sono ancora molto confuso e non ci sto capendo quasi nulla.
Che testa, mamma mia..
"lezan":t manda 2 in 6,
$ t = ( 1425)(126)(4315) in S_6. $
[...]
$ 2 rarr 2 rarr 6 .. $ e qui mi blocco.
manda 6 in 4,
manda 4 in 3,
manda 3 in 5,
manda 5 in 2.
Quindi il ciclo contenente 2 è (26435).
Io però non continuo a capire come è possibile.
$ 6 $ va in $ 4 $ passando per $ 1 $?
EDIT:
Non capisco come $ 3 $ manda in $ 5 $.
Stamane mi sembrava di aver capito meglio il ragionamento e mi era venuto fuori questo:
$ 1 rarr 5 rarr 1 $
$ 2 rarr 6 rarr 1 rarr 4 rarr 3 rarr 1 rarr 2 $
$ 3 rarr 1 rarr 2 rarr 5 rarr 3 rarr 2 rarr 6 rarr 1 rarr 4 rarr 3 $
$ 4 rarr 3 rarr 1 rarr 2 rarr 5 rarr 4 $
$ 5 rarr 4 rarr 2 rarr 6 rarr 1 rarr 4 rarr 3 rarr 1 rarr 2 rarr 5 $
$ 6 $ va in $ 4 $ passando per $ 1 $?
EDIT:
Non capisco come $ 3 $ manda in $ 5 $.
Stamane mi sembrava di aver capito meglio il ragionamento e mi era venuto fuori questo:
$ 1 rarr 5 rarr 1 $
$ 2 rarr 6 rarr 1 rarr 4 rarr 3 rarr 1 rarr 2 $
$ 3 rarr 1 rarr 2 rarr 5 rarr 3 rarr 2 rarr 6 rarr 1 rarr 4 rarr 3 $
$ 4 rarr 3 rarr 1 rarr 2 rarr 5 rarr 4 $
$ 5 rarr 4 rarr 2 rarr 6 rarr 1 rarr 4 rarr 3 rarr 1 rarr 2 rarr 5 $
Nessun suggerimento/risposta?
$t=(1425)(126)(4315) in S_6.$
Io moltiplico da destra verso sinistra ed ottengo questo.
$1 \to 5 \to 1$
$2 \to 6$
$3 \to 1 \to 2 \to 5$
$4 \to 3$
$5 \to 4 \to 2$
$6 \to 1 \to 4$
Semplicemente considero l'elemento e vedo in cosa viene "mandato" dalla permutazione. E questo lo faccio per ogni elemento.
Io moltiplico da destra verso sinistra ed ottengo questo.
$1 \to 5 \to 1$
$2 \to 6$
$3 \to 1 \to 2 \to 5$
$4 \to 3$
$5 \to 4 \to 2$
$6 \to 1 \to 4$
Semplicemente considero l'elemento e vedo in cosa viene "mandato" dalla permutazione. E questo lo faccio per ogni elemento.
Credo di essere stato veramente fortunato stamane, infatti penso di aver capito il procedimento.
Farò un esercizio e poi vi chiederò se è stato svolto correttamente.
Farò un esercizio e poi vi chiederò se è stato svolto correttamente.
Per esempio, ho questo esercizio.
Testo:
Trovare il periodo della seguente permutazione:
$ u = ( 2 3 5 ) ( 1 3 4 ) ( 2 3 ) ( 1 4 5 ) in S_5 $
Per prima cosa scrivo la permutazione in cicli disgiunti, giusto?
Quindi faccio:
$ 1 rarr 4 rarr 1 $
$ 2 rarr 3 rarr 4 $
$ 3 rarr 2 rarr 3 $
$ 4 rarr 5 rarr 2 $
$ 5 rarr 1 rarr 3 rarr 5 $
Allora viene: $ ( 1 ) ( 2 4 ) ( 3 ) ( 5 ) $ ( riportando ovviamente anche i cicli banali ).
E' corretto?
Il periodo poi viene $ o(u) = mcm ( 2, 1 ) = 2 $.
Testo:
Trovare il periodo della seguente permutazione:
$ u = ( 2 3 5 ) ( 1 3 4 ) ( 2 3 ) ( 1 4 5 ) in S_5 $
Per prima cosa scrivo la permutazione in cicli disgiunti, giusto?
Quindi faccio:
$ 1 rarr 4 rarr 1 $
$ 2 rarr 3 rarr 4 $
$ 3 rarr 2 rarr 3 $
$ 4 rarr 5 rarr 2 $
$ 5 rarr 1 rarr 3 rarr 5 $
Allora viene: $ ( 1 ) ( 2 4 ) ( 3 ) ( 5 ) $ ( riportando ovviamente anche i cicli banali ).
E' corretto?
Il periodo poi viene $ o(u) = mcm ( 2, 1 ) = 2 $.
Sì, tutto corretto!
Grazie a tutti per l'aiuto che mi avete dato!
Prego, di nulla! (Per la seconda volta.)
(Per la seconda volta.)
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