Permutazioni e sottogruppi
Ciao a tutti,
mi è capitato questo esercizio sfogliando le dispense di un esame.
Nel gruppo S8 si consideri la permutazione:
A= (381)(27)(546)
a) si decomponga A nel prodotto di cicli a due a due disgiunti
b) determinare il sottogruppo (B) generato da A, elencandone gli elementi
c) Elencare i sottogruppi di A
Il gruppo A non è già decomposto?
Per trovare i sottogruppi che lo compongo, ho trovato il mcm della lunghezza delle singole permutazioni (quindi 6 sottogruppi)
α0 : Id.
α1: (381)(27)(546)
α2: (381)(27)(546) (381)(27)(546)= (381)(381)(27)(27)(546)(546)= (318)(27)(564)
Non so se fino ad ora è corretto
mi è capitato questo esercizio sfogliando le dispense di un esame.
Nel gruppo S8 si consideri la permutazione:
A= (381)(27)(546)
a) si decomponga A nel prodotto di cicli a due a due disgiunti
b) determinare il sottogruppo (B) generato da A, elencandone gli elementi
c) Elencare i sottogruppi di A
Il gruppo A non è già decomposto?
Per trovare i sottogruppi che lo compongo, ho trovato il mcm della lunghezza delle singole permutazioni (quindi 6 sottogruppi)
α0 : Id.
α1: (381)(27)(546)
α2: (381)(27)(546) (381)(27)(546)= (381)(381)(27)(27)(546)(546)= (318)(27)(564)
Non so se fino ad ora è corretto
Risposte
Sposto in Algebra, poiché quella è la sezione adatta per trattare questi argomenti.
Un giorno prenderò la pagina corretta ^^ scusami molto
"Efreet":Efreet, questa frase, ti costerebbe la bocciatura immediata
Ciao a tutti,
mi è capitato questo esercizio sfogliando le dispense di un esame.
Nel gruppo S8 si consideri la permutazione:
A= (381)(27)(546)
a) si decomponga A nel prodotto di cicli a due a due disgiunti
b) determinare il sottogruppo (B) generato da A, elencandone gli elementi
c) Elencare i sottogruppi di A
Il gruppo A non è già decomposto?
Per favore, potresti scrivere cosa è un gruppo e cosa è una permutazione? Perché confondere queste due cose è molto grave.
Per trovare i sottogruppi che lo compongo, ho trovato il mcm della lunghezza delle singole permutazioni (quindi 6 sottogruppi)
α0 : Id.
α1: (381)(27)(546)
α2: (381)(27)(546) (381)(27)(546)= (381)(381)(27)(27)(546)(546)= (318)(27)(564)
Non so se fino ad ora è corretto
ni (più no che si) innanzi tutto $A$ è UNA permutazione. Ciò che trovi è il minimo comune multiplo tra le lunghezze dei cicli di $A$. Forniresti la definizione di ciclo?
Facendo un po finta di non aver visto questi strafalcioni obrobriosi
direi che comunque sia l'idea è giusta.
$A$ genera un gruppo ciclico di ordine $6$,chiamiamolo $B={ID,A,A^2,A^3,A^4,A^5}$.
Sui sottogruppi di $B$ possiamo dire ogni elemento di $B$ genera un sottogruppo di $B$.
Avremo che $A$ genera $B$
che $A^2=(3,1,8)(5,6,4)$ genera un sottogruppo di ordine tre lo chiamiamo $B_1={Id , A^2,A^4}$
$A^3=(2,7)$ genera un sottogruppo di ordine $2$ che lo chiamiamo $B_2={Id, A^3}$
$A^4=(3,8,1)(5,4,6)$ genera un sottogruppo di ordine 3 chiamiamo $B_3={id, A^4, A^2}$
$A^5=(3,1,8)(2,7)(5,6,4)$ genera un sottogruppo di ordine 6 $B_4$ che coincide con $B$.
Poi ovviamente $id$ genera un sottogruppo di ordine 1 dato da ${id}$
Alla fine dei conti abbiamo sì 6 sottogruppi, ma tutti distinti?
No. Volendo dire qualcosa in più possiamo dire che i sottogruppi trovati di ugual ordine sono a due a due isomorfi.
Questo è un importante risultato ed è generale, sapresti dire il perché della mia ultima affermazione?
Ciao!
Dato che ti ho praticamente risolto (sperando correttamente ) il quesito, te ne propongo un'altro sullo stesso stampo.
Considera $\sigma=(1,2,3)(4,5,6,7)(8,9,10,11,12) in S_9$
a) determina il periodo di $\sigma$
b) Denotato con $A$ il sottogruppo generato da $\sigma$, dire se esistono un sottogruppi di $A$ di ordine $3,4,5,15,20$ e in caso affermativo determinarli.
Considera $\sigma=(1,2,3)(4,5,6,7)(8,9,10,11,12) in S_9$
a) determina il periodo di $\sigma$
b) Denotato con $A$ il sottogruppo generato da $\sigma$, dire se esistono un sottogruppi di $A$ di ordine $3,4,5,15,20$ e in caso affermativo determinarli.
Giuro e spergiuro ho riportato lettera per lettera l'esercizio <.<
sei molto gentile, aspetta cerco di risolvere il tuo
sei molto gentile, aspetta cerco di risolvere il tuo
il problema stava nella risoluzione. Cerca di far luce su queste cose :
1) cosa è un gruppo?
2) cosa è una permutazione?
3) che tipo di gruppo genera la tua permutazione?
4) di che tipo sono i sottogruppi generati dalla tua permutazione?
1) cosa è un gruppo?
2) cosa è una permutazione?
3) che tipo di gruppo genera la tua permutazione?
4) di che tipo sono i sottogruppi generati dalla tua permutazione?
Un gruppo è un insieme non vuoto in cui viene definita l'operazione di moltiplicazione. Devono essere soddisfatta la proprietà associativa della moltiplicazione, deve esserci un elemento neutro e ogni elemento del gruppo deve avere un opposto.
Una permutazione è una funzione biettiva che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B, e viceversa...
Le permutazioni creano un gruppo simmetrico, dato dall'insieme delle permutazioni dei suoi elementi.
Quindi la mia permutazione (del primo esempio) crea un gruppo ciclico di ordine 6, e i suoi sottogruppi saranno quindi l'insieme delle permutazioni di tale gruppo... <.< da definizione
Una permutazione è una funzione biettiva che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B, e viceversa...
Le permutazioni creano un gruppo simmetrico, dato dall'insieme delle permutazioni dei suoi elementi.
Quindi la mia permutazione (del primo esempio) crea un gruppo ciclico di ordine 6, e i suoi sottogruppi saranno quindi l'insieme delle permutazioni di tale gruppo... <.< da definizione
Cosa è un'operazione? cosa intendi per operazione di moltiplicazione?
sicura che una permutazione è semplicemente una funzione biettiva? o manca qualcosa?
Se prendiamo ad esempio una $f: ZZ->Q$ biettiva, questa è una permutazione?
in che senso le permutazioni creano il gruppo simmetrico? rispetto a quale operazione?
sicura che una permutazione è semplicemente una funzione biettiva? o manca qualcosa?
Se prendiamo ad esempio una $f: ZZ->Q$ biettiva, questa è una permutazione?
in che senso le permutazioni creano il gruppo simmetrico? rispetto a quale operazione?
Prendendo poi il tuo esempio....
S9 avrà ordine 9! = 9x8x7x6x5x4x3x2
Ma in questo caso esistono sottogruppi di ordine 15 e 20?
S9 avrà ordine 9! = 9x8x7x6x5x4x3x2
Ma in questo caso esistono sottogruppi di ordine 15 e 20?
Nel senso, un qualsiasi insieme A è detto gruppo solo se in A è definita l'operazione di prodotto, in modo che A sia chiuso rispetto alla moltiplicazione (esempio a,b ∈ A dovremo avere axb ∈ G), rispetti al proprietà associativa rispetto al prodotto, esista un elemento neutro i ∈ A tale che a x i= i x a= a per ogni a ∈ G, esista l'inverso di ogni elemento di A.
mmm una permutazione quindi è sicuramente una funzione biettiva... Ma nel tuo esempio... No non è una permutazione... E' solo una funzione biettiva...
Forse una permutazione differisce perché è data dal prodotto dei propri cicli?
mmm una permutazione quindi è sicuramente una funzione biettiva... Ma nel tuo esempio... No non è una permutazione... E' solo una funzione biettiva...
Forse una permutazione differisce perché è data dal prodotto dei propri cicli?
mmh, procediamo per gradi. Si hai ragione nel dire che la mia non è una permutazione, ma il motivo sta nel fatto che la bigezione non è nello stesso insieme. Ciò che voglio dire è questo.
Qualunque $f : X-> X$ con $X$ un insieme qualunque, è una permutazione se $f$ è biettiva. Ad esempio
$f : RR-> RR$ con $f(x)=x$ è una permutazione, ed è quella identica.
Il gruppo simmetrico è formato dalle $f$ tali che $X = {1,2,...,n}$
Quindi è sostanzialmente errato dire che qualunque funzione biettiva è una permutazione,non è vero.
Ora, parlando del gruppo simmetrico, abbiamo la nozione di ciclo. In sostanza cos'è un ciclo ?
Qualunque $f : X-> X$ con $X$ un insieme qualunque, è una permutazione se $f$ è biettiva. Ad esempio
$f : RR-> RR$ con $f(x)=x$ è una permutazione, ed è quella identica.
Il gruppo simmetrico è formato dalle $f$ tali che $X = {1,2,...,n}$
Quindi è sostanzialmente errato dire che qualunque funzione biettiva è una permutazione,non è vero.
Ora, parlando del gruppo simmetrico, abbiamo la nozione di ciclo. In sostanza cos'è un ciclo ?
Oddio è ancora aperto... Chi se lo aspettava. Scusate, purtroppo hanno demolito la mia casa senza molto preavviso e sono rimasta senza collegamento internet... <.< scusa Kashaman, avrai pensato "sta burbera manco risponde" <.<
tranqui, va tutto bene 
, spero tu abbia risolto i tuoi problemi.
, spero tu abbia risolto i tuoi problemi.
Ciao Kash di matematica più o meno... <.< di casa insomma... Abbiamo scasato in un giorno e siamo in tutto 6 appartamenti... Praticamente sembrava la fuga da un virus letale... u.u ma la ditta di trasloco ringrazia fragorosamente -_-'
.... Se sto facendo spam... Siate violenti e ditemelo T.T
di matematica più o meno... <.< di casa insomma... Abbiamo scasato in un giorno e siamo in tutto 6 appartamenti... Praticamente sembrava la fuga da un virus letale... u.u ma la ditta di trasloco ringrazia fragorosamente -_-' .... Se sto facendo spam... Siate violenti e ditemelo T.T
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